Összefoglalás

Az alábbiakban összefoglaljuk a csillagszerkezet vizsgálatához szükséges legfontosabb alapegyenleteket és összefüggéseket.

A csillagszerkezetet leíró differenciálegyenlet-rendszer:

$dM_r / dr =  4 \pi r^2 \rho$	tömeg-kontinuitási egyenlet
$dP / dr =  -G \rho M_r / r^2$	hidrosztatikai egyensúly egyenlete
$dT / dr =  -(3 \kappa \rho / 16 \pi a c) L_r / (4 \pi r^2)$	radiatív energiaterjedés egyenlete
$dT / dr =  [(\gamma-1)/\gamma]\cdot (T/P) \cdot (dP/dr)$	konvektív energiatranszport egyenlete
$dL_r / dr =  4 \pi r^2 \rho \cdot \epsilon$	energia-kontinuitási egyenlet

A fenti alapegyenletekhez kapcsolódó kiegészítő összefüggések:

$P =  (\rho / \mu) \mathcal{R} \cdot T +  (a/3) T^4$	állapotegyenlet
$\epsilon =  \epsilon_0 \rho^\lambda T^\nu$	energiakeltés
$\kappa =  \kappa_0 \rho T^{-7/2}$	opacitás (Kramers-törvény)

A fenti összefüggésekben szereplő konstansok, ill. kitevők a csillagok anyagának összetételétől, illetve a figyelembe vett fizikai folyamatok részleteitől függenek. A legfontosabb szerepet a kémiai összetétel játssza. Ha a csillagban a hidrogén, a hélium és a nehezebb elemek tömegszázalékát rendre X, Y, Z -vel jelöljük, az átlagos molekulasúly ezekkel kifejezhető: $1/\mu \approx 2 X + (3/4) Y + Z/2$. Hasonlóan, az energiakeltési rátában szereplő $\epsilon_0$ a p-p ciklusnál $X^2$-től, a CNO-ciklusnál $X\cdot Z$-től függ.

A fenti egyenletek 7 különböző fizikai mennyiségre összesen 7 összefüggést adnak meg, tehát az egyenletrendszer elvileg megoldható, amennyiben a kémiai összetételt adottnak tesszük fel. A differenciálegyenletek konkrét (partikuláris) megoldásához határfeltételeket is meg kell adnunk. Ezek praktikusan meghatározható mennyiségek, pl. a csillag tömege, sugara, vagy luminozitása lehetnek. Mivel kellő számú egyenletünk van, az ismeretlenek kifejezhetőek egymással, tehát az egyértelmű megoldáshoz a határfeltételek közül elegendő csak az egyiket (általában a tömeget) megadnunk. Ezt szokás Vogt-Russell-tételnek is nevezni. A Vogt-Russell.tétel értelmében a csillagok belső szerkezetét és mérhető paramétereit a tömeg és a kémiai összetétel egyértelműen meghatározza.