Idő-frekvencia módszerek alkalmazásai a csillagászatban.


A csillagászati periódusmeghatározó módszerek közül a legelterjedtebb (és alapja sok másik eljárás nak) a Fourier-transzformáció. Ezzel a módszerrel egy adott jelet különálló frekvencia-komponensekre bonthatunk ugyan, viszont az egyes összetevők időbeliségét nem tudjuk így megállapítani. Ha például zongorán 3 percig kitartunk egy hangot, a frekvenciáját megkaphatjuk Fourier-analízissel . Abban az esetben viszont, ha az utolsó néhány másodpercben dallamot szövünk az analizálandó jelbe, a spektrumban az összes leütött hang frekvenciája megjelenik függetlenül attól, hogy a változás gyakorlatilag csak rövid ideig tartott.  A Fourier transzformáció lényegében függvények (pl. idõjelek) szinuszos összetevõkre bontását végzi (építõkövei, azaz bázisfüggvényei a harmonikus függvények ).
A  folytonos s(t) jel esetén a Fourier-és az inverz Fourier-transzformáció:

           

Ez egy folytonos, komplex értékű függvény , melyre az alábbiak teljesülnek. A valós és képzetes részek négyzetösszegének gyökét Fourier-, vagy frekvenciaspektrumnak nevezik. Ez a mennyiség arányos a kérdéses transzformált argumentumában szereplõ frekvencia amplitúdójával. Például képfeldolgozás során a spektrum elemeinek manipulálásával lehetséges a képet alkotó frekvenciaösszetevõk megváltoztatása, s az inverz transzformáció alkalmazásával a megváltoztatott spektrumra, optimális esetben, a kép minõségének kivánt irányú megváltoztatása.


       

Mivel a csillagászati megfigyelések során nem folytonos adatsorokat veszünk fel, sőt alkalmasint a mintavételezés sem tekinthető egyenletesnek (ez
lehatárolja frekvenciatartományt ), a transzformáció diszkrét változatát alkalmazzuk.  A gyakorlatban tulajdonképpen mindig véges tartományokal van dolgunk, ebben az esetben a transzformálandó függvény csak egy korlátos intervallumon ('ablakban') értelmezett. Ekkor az összetevõ szinuszok frekvenciája n/T, ahol n: egész szám, T: az ablak hossza:  

       

Itt 
    azokra a diszkrét időpontokra utal, amelyekben a jel mintavételezése történt. Amennyiben a mintavételezés nem egyenközű, -al helyettesítendő. Az adatsor általában azonban nem a teljes (végtelen) időskálán áll rendelkezésre, hanem egy T F időablakon belül, ezért a fenti összefüggés még folytonos spektrum is diszkrét értékekben lesz csak adott (N adat esetén):


 
Ez utóbbi tulajdonképpen a frekvencia-felbontás . A fenti két felírásmód közül ez utóbbi a korábbitól egy úgynevezett ablakfüggvénytől függő skálatényezőben különbözik. A véges időtartamon adott jelet ugyanis matematikailag úgy értelmezhetjük, hogy a végtelen jelet megszorozzuk egy ún. ablakfüggvénnyel . Ez a frekvencia térben a (végtelennek tekintett) jel Fourier-transzformáltjának az ablakfüggvény transzformáltjával vett konvolúciójának felel meg. Legegyszerűbb esetben ez a függvény egy derékszögű ablak, azaz értéke a megfigyelés időtartama alatt
1, azon kívül pedig 0. Ebben az esetben a skálázó tényező 2/N lesz (választhatók másmilyen ablakok is, ekkor a spektrumnak más és más tulajdonságai lesznek). A lenti ábrán láthatjuk, hogy a Fourier-bázisfüggvények miként fedik le az idő-frekvencia síkot. Ezen Fourier-transzformáció során négyszög alakú ablakfüggvény használtunk, mely csonkítja a sin és cos függvényeket oly módon, hogy az ablakba megfelelően illeszkedjenek. Mivel a WFT során minden frekvencián ugyanazt az ablakfüggvényt használjuk, a felbontás az idő-frekvencia sík mindegyik helyén ugyanakkora. 




A képfeldolgozásban a Fourier transzformáltakat gyakran a konvolúció mûveletének egyszerûbb végrehajtására használják fel. A g(x,y) és f(x,y) folytonos függvényeknek az (a,b; c,d) intervallum feletti konvolúcióját az alábbi kifejezés definiálja kétdimmenziós esetben:

                                                                 ,
 
továbbá a konvolúció mûveletét frekvenciatartományban a megfelelõ Fourier-transzformáltak összeszorzásával végezhetjük.  

                                                                                       

       



Idő-frekvencia eloszlások
 


A hagyományos Fourier-analízis tehát segít egy jel különálló frekvencia-komponensekre való bontásában, és meghatározza a komponensek relatív intenzitását. Azt azonban nem tudja megmutatni, hogy az egyes komponensek mikor is fordulnak elő a jelben. Gyakran megesik viszont az is, hogy az összetevők időben nem állandóak és a megfigyelés időtartama alatt változnak a relatív intenzitások  (pl. egy hangszer hangja). Természetes ötlet a spektrum időbeli változásának kiderítésére, hogy csökkentve az időablak hosszát, több spektrumot veszünk fel, és vizsgáljuk az egyes komponenseket, feltételezve, hogy azok az ablakon belül már állandóak. Ez sokszor nem áll fenn, valamint csökkentve az időablak szélességét, romlik a frekvencia-felbontás is. Természetesen nem csak (azt is mondhatnák hogy főként nem) a csillagászatban felmerült igények vezettek az idő- és frekvenciabeli változásokat együttesen leíró függvények tanulmányozásához. Egy olyan általános eloszlást kerestek, ami párhuzamosan adja egy jel intenzitását vagy energia-sűrűségét időben és frekvencia szerint egyaránt. Ideális esetben egy ilyen eloszlást úgy kezelhetnénk és használhatnánk, mint bármilyen többváltozós sűrűségfüggvényt, azaz megkaphatnánk például a frekvencia-eloszlást egy adott időben kiintegrálva az időfüggést.


1. Matematikai háttér

A Fourier-analízisből már ismert, hogy egy s(t) jel pillanatnyi energiája az  mennyiség, mely nem más, mint az időegységre eső intenzitás a t időpontban. Definiálhatjuk az mennyiséget is, mely a  időtartamra jutó energiát jelenti a t időpontban. Az energiasűrűség-spektrum, azaz az adott frekvencián vett, frekvenciaegységre eső intenzitás a következő mennyiséget jelenti, ahol az az adott frekvenciatartományra jutó energia frekvenciánál, ahol . A normálást úgy kell megválasztanunk, hogy az , vagyis a teljes energia értéke 1 legyen. Az alapvető cél egy olyan időtől és frekvenciától függő függvény előállítása, amely energia, vagy intenzitás/időegység/frekvenciaegység összefüggéseit reprezentálja. Legyen ez a közös eloszlás a P( ,t) függvény. Ekkor a a t időpontban és az  frekvenciánál mérhető intenzitással, illetve a  kifejezés a  ( ) idő-frekvencia cellára jutó energiát jelenti az idő-frekvencia tér  (t, ) pontjában.
Ideális esetben ha
egy adott időpontban az energia-eloszlást  az összes frekvenciára felösszegezzük, meg kell kapnunk a pillanatnyi energiát és viszont, az energiaeloszlást egy adott frekvenciánál az összes időpontra felösszegezve az energia-sűrűség spektrumot fogjuk megkapni. Ezeket az alapösszefüggéseket marginálisoknak nevezzük:
 


A teljes energiát pedig ezek alapján így kaphatjuk meg




Több olyan eloszlásfüggvényt alkottak már, melyek teljesítik a marginálisokat, példaként megemlíthetjük a Wigner-Ville-, Kirkwood-, ill. Page-eloszlást:



Az idő-frekvencia eloszlások általános elméletével Cohen (1989) foglalkozott részletesen, megadva egy általános függvény osztályt:




ahol  a kernel- vagy magfüggvény . Különböző mag-függvényeket választva különböző tulajdonságú eloszlásokat nyerünk.

A továbbiakban bemutatunk két különböző megközelítést idősorok idő-frekvencia analízisére. Az egyik az ablakozott (running window) Fourier-transzformáció általánosításából származó wavelet-transzformáció (jelen esetben az ún. Morlet-kernellel), a másik pedig a Cohen-féle általánosított idő-frekvencia eloszlás a Choi-Williams magfüggvénnyel .

             
 

 A wavelet-transzformáció


A Fourier-transzformációval szemben a wavelet-transzformáció alkalmazásakor óriási előnyt jelent, hogy az ablak szélessége változtatható. A jelben előforduló kis szakadások elkülönítésére például nagyon rövid bázisfüggvényeket használunk, részletes frekvenciaanalízishez viszont hosszúakra van szükségünk. Ennek érdekében magas frekvenciákon rövid, kis frekvenciákon viszont elég hosszú bázisfüggvényeket alkalmazunk.  




definíciója
Mother/analysing wavelet, melynek nyújtása vagy eltolása definiálja az ortogonális wavelet-
bázist.

A benne szereplő s és l egészek skálázzák
és nyújtják a mother-függvényt, így
gyakorlatilag korlátlanul állíthatók elő a waveletek
legkülönbözőbb fajtái.
s: skálaindex, a wavelet szélességét mutatja
l: lokáció, megadja a pontos pozícióját
A mother-függvények a kettő hatványaival skálázódnak és egészekkel toljuk el őket. Az adattér különböző felbontású kiterjesztéseinek megvalósításához az analizáló waveletet egy skálázó egyenletbe helyettesítjük.(W(x): a mother-fv skálázó függvénye, a ck-k pedig a wavelet-koefficiensek )

A wavelet együtthatóknak lineáris és kvadratikus megszorításoknak kell eleget tenniük.



A bevezetőben már említett „klasszikus” eszköz idősorok analízisére a short-time Fourier-transzformáció, gyakran nevezik ablakozott Fourier-transzformációnak is. Az  s(t) jel egy időben lokalizált ablakfüggvénnyel ( h(t) ) van súlyozva, majd Fourier-transzformálva:
 
                                                                             

Egy idősor wavelet-transzformáltja pedig a következőképp van definiálva:

                                                                             

ahol g(t) a transzformáció kernel-függvénye , g*(t) pedig ennek komplex konjugáltja. Az b változó periódus jellegű mennyiség. Válasszuk kernel-függvénynek a Morlet-kernelt (egy módosított Gauss-görbét)

                                                                         

ahol a és c skálázó faktorok ( általában). Ekkor a időeltolási paraméterhez és az f frekvenciához tartozó wavelet-transzformáció:
                                                                             
                                                                             
 
A gyakorlatban a DFT-hez hasonló módon bevezethető a Diszkrét Wavelet Transzformáció, mely szerint az amplitúdó spektrum

                                                                             
ahol

                                                             
és t0 az adatsor első eleméhez tartozó idő.

A Gauss-ablak félszélessége a próbaperiódussal arányos, nem pedig állandó érték, mint a Fourier-analízisnél, így a frekvencia spektrumban a csúcsok félszélessége nem egyforma, hanem a frekvenciával arányosan növekszik. Az ablakot  értékkel toljuk el az adatsor elejétől a végéig, és minden eltolásra kiszámoljuk a frekvencia spektrumot.



      
                                                                                                                                      
A Choi-Williams eloszlás


Mint már említettük, a Cohen-féle általános idő-frekvencia eloszlás:



Amennyiben a mag-függvény helyére a Choi és Williams által javasolt exponenciális kernelt helyettesítjük, a Choi-Williams eloszlást kapjuk (CWD):
                                                                      ahol  a skálázó tényező.
Vizsgáljuk most a CWD tulajdonságait. Tekintsük az  jelet több monoperiodikus komponens szuperpozíciójaként . Az idő-frekvencia eloszlás az egyes összetevők eloszlásaiból (auto-terms) és a páronként különböző komponensek kölcsönhatásából (cross-terms ) tevődik össze:

                                                   
,

rövidített jelöléssel                                 ,
mely nem más, mint a keresett idő-frekvencia eloszlás:

ahol                                 .

Ahogy látszik, a kereszttagok viselkedését a mag-függvény tulajdonságai határozzák meg. A kereszttagok többletet okoznak az eloszlásban, elfedhetik a valós energiaeloszlást bizonyos frekvencia- és időpontokban. A mag-függvény alkalmas megválasztásának épp az a célja, hogy a kereszttagok hatását minél inkább csökkentse. Azt azonban látni kell, hogy nem lehetséges olyan eloszlást előállítani, amelyik kielégíti a marginálisokat, viszont kereszttagok egyáltalán nincsenek benne.
Helyettesítsük most be az exponenciális kernelt  a Cohen-féle általános idő-frekvencia eloszlásba:

                                                                           
 
A Cohen függvény osztály tagjait értelmezhetjük egy  idő-indexelt autokorrelációs függvény Fourier-transzformáltjaként is:

                                        , ahol .

Az utóbbi egyenletből látszik, hogy  -nek fontos szerepe van az autokorrelációs függvény tulajdonságainak meghatározásában. Egy időátlagolás túlzottan kisimítaná a jel gyorsan változó tulajdonságait, ezért a mag-függényt úgy kell megválasztani, hogy -nek nagy súlya legyen, amikor m közel van t-hez, illetve kis súlyt kapjon, mikor m távol van t-től. CWD esetén az autokorrelációs függvény a következő:
               
                                                                   ,  
ami épp teljesíti a kívánt feltételeket, ha ugyanis 
µ közel van t-hez, akkor az exponenciális tényező miatt -nek nagy súlya lesz, ha viszont µ távol van t-től, akkor épp ellenkezőleg. Az autokorreláció „mértékét” a  paraméter szabályozza, ha  nagy, akkor több szomszédos tagot használ K(t, ), kisebb  esetén kevesebbet. , µ- valamint  hatásának részletes vizsgálatát Choi és Williams végezte el. A  skálázó faktor szerepéről még annyit jegyzünk meg (bizonyítás nélkül, részleteket lsd. Choi and Williams, 1989), hogy egyfelől  nagy értékeire a Wigner-eloszlást kapjuk , másrészt  mintegy szelektorként viselkedik a frekvencia felbontás és a kereszttagok csökkentése között. Ha -t nagyra választjuk, éles felbontást kapunk, több hamis csúcssal, míg kis -ra szélesebb csúcsokat kapunk, viszont kisebb a kereszttagok hatása. Gyorsan változó tulajdonságú komponenseket tartalmazó jelek analíziséhez tehát nagy -t kell választanunk ( >1), lassabban változó jelekhez pedig kisebb -t érdemes választani (<1). Általában  értékét 0.1 és 10 között érdemes választani.

Csillagászati alkalmazásokban a vizsgált  jel korántsem folytonos, sőt gyakran nem is egyenletesen mintavételezett, így szükség van a CWD diszkrét formájának előállítására. Diszkrét idősorokra az általános idő-frekvencia eloszlás a következőképpen adott:

                                               

ahol n, 
és  diszkrét, és   pedig folytonos változók. Behelyettesítve a Choi-Williams féle magfüggvényt, kapjuk:

                                                             .


A Wigner-eloszlás


                                                                                             



                                                                                                                   

                                                                                       

                                                                       






Detection of superimposed periodic signals using wavelets

(X.Otazu, M.Ribó, M.Peracaula, J.M.Paredes, J.Núñez)






















                               
TIFRAN


A futtatáshoz szükséges a TcL/Tk, ami egyébként is hasznos programrendszer. Ha a Tifran installálásakor még nincs a ilyen a számítógépen, akkor egy sok mindent tartalmazó csomag letölthető a http://www.activestate.com/ címrol (ActiveTcl).

A program
induláskor háromféle futtatási módozatot ajánl fel: a két madár ( Heron és Ibis ) a sztenderd analizaló részek kis eltéréssel, a harmadik ( Spline csak a kezdete egy interaktiv spline illesztőrutinnak).  Az ablakra kattinva a bal gombbal jelolünk ki tartományokat, shift+bal gomb (vagy középső): a kijelölés mozgatása. Jobb gomb: megjelenik egy menü mellyel például az adatsorban kijelölt részből lehet konfigurálni a plot-ot, stb. A jobb gombbal némi magyarazatot is megjeleníthetünk. A data input gombbal állíthatjuk be azt is, hogy melyik oszlopból olvassa be a program az adatokat)
Az alfa paraméter általában 1-10, ZAM eseten 0.1 kornyeken jó, a beta csak a PWD-hez kell.

Alkalmazott eloszlások:
 
STFT: Short Term Fourier Transform
Wavl: Morlet Wavelet
WD: Wigner Distribution
CWD: Choi-Williams Distribution
PWD: Pseudo Wigner (exponential) Distribution
ZAM: Zhao-Atlas-Marks Distribution
AMBF: Ambiguity Function





        A táblázatban foglalt teszt-adatsorok egységesen i = 1...500 -ig futnak.





Egyszeres szinusz
Frekv. felbontás:    1.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD   ZAM  
Frekv. felbontás:    5.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD  ZAM  
Frekv. felbontás:  10.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD  ZAM  
Frekv. felbontás:  75.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD  ZAM  
Kétszeres szinusz
Frekv. felbontás:    1.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD  ZAM  
Frekv. felbontás:    5.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD   ZAM  
Frekv. felbontás:  10.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD  ZAM  
Frekv. felbontás:  75.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD  ZAM  
Ciklikus mplitúdómoduláció
               
              
Frekv. felbontás:    1.0    STFT   Wavelet   WD   CWD  PWD   ZAM  
Frekv. felbontás:    3.0   STFT   Wavelet   WD   CWD  PWD    ZAM  
Frekv. felbontás:    8.0   STFT   Wavelet   WD   CWD  PWD   ZAM  
Frekv. felbontás:  20.0   STFT   Wavelet   WD   CWD  PWD   ZAM  
Szinuszos fázismoduláció
                                  
Frekv. felbontás:    1.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD   ZAM  
Frekv. felbontás:    2.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD   ZAM  
Frekv. felbontás:    5.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD   ZAM  
Frekv. felbontás:  10.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD   ZAM  
Kétmódusú oszcilláció
               
Frekv. felbontás:    1.0  STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD   ZAM  
Frekv. felbontás:    2.0  STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD   ZAM  
Frekv. felbontás:    5.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD   ZAM  
Frekv. felbontás:  10.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD   ZAM  
Randommal "elrontott" adatsor
                   
Frekv. felbontás:    1.0   STFT   Wavelet   WD   CWD   PWD  ZAM  
Frekv. felbontás:    2.0    STFT  Wavelet   WD  CWD   PWD  ZAM  
Frekv. felbontás:    5.0   STFT   Wavelet   WD  CWD   PWD  ZAM  
Frekv. felbontás:  10.0    STFT   Wavelet   WD  CWD   PWD  ZAM  


RCyg        
Frekv. felbontás:    1.0   STFT   Wavelet   WD   CWD  PWD   ZAM
Frekv. felbontás:    2.0   STFT   Wavelet  WD  CWD  PWD   ZAM  
Frekv. felbontás:    5.0   STFT   Wavelet  WD  CWD  PWD   ZAM  
Frekv. felbontás:  10.0   STFT   Wavelet  WD  CWD  PWD   ZAM  






Joint Time-Frequency Analysis:
 a tool for exploratory analysis and filtering of non stationary time series

                                                   
     (R.Vio and W.Wamsteker)