Egy égitest gravitációs terében keringő objektumok (pl. kettőscsillagok komponensei, bolygók, holdak, stb.) pályájának pontos meghatározására szolgáló paraméterek. Általában a következő hat paraméterrel adják meg egy keringő objektum pályáját:

1.24. ábra - Pályaelemek

A mozgás pályájának ismeretében meghatározható a mozgás időbeli lefolyása, azaz az r(t) függvény. Mivel r-nek a v valódi anomáliától való függését ismerjük, a feladat a v(t) függvény meghatározása. Írjuk fel az impulzusmomentum-egyenletet v felhasználásával:

1.25. ábra - 5.23 egyenlet

Ez az egyenlet azonban véges formában nem integrálható, így szükség van v helyett egy új változó bevezetésére. Láttuk, hogy a mozgás pályája ellipszis, parabola vagy hiperbola, az energiától függően. Az új változó bevezetése függ a pálya típusától. Mivel a gyakorlatban elliptikus pályák fordulnak elő leggyakrabban (pl. bolygók mozgása), itt csak az elliptikus mozgás esetét tárgyaljuk.

1.26. ábra - Elliptikus mozgás

Elliptikus mozgás esetén a v valódi anomália helyett vezessük be az E excentrikus anomáliát. Rajzoljuk meg ehhez az ellipszis főkörét, ami egy a sugarú kör az ellipszis középpontja körül. Az m₂ tömegponton át húzzunk egyenest az ellipszis nagytengelyére merőleges irányban, így kapunk egy metszéspontot a főkörön. Ezt a metszéspontot az ellipszis középpontjával összekötve a kapott szög az E excentrikus anomália.

Trigonometrikus azonosságok felhasználásával kiderül, hogy v és E kapcsolata csak e-től függ:

1.27. ábra - 5.24 egyenlet

Az r helyvektor nagysága pedig így adható meg:

1.28. ábra - 5.25 egyenlet

Beírva E-t v helyére, az impulzusmomentum-egyenlet így alakul:

1.29. ábra - 5.26 egyenlet

Az egyenletet integrálva megoldásként az ún. Kepler-egyenletet kapjuk:

1.30. ábra - 5.27 egyenlet

, ahol τ a pericentrum-átmenet időpontja, n pedig az ún. középmozgás:

1.31. ábra - 5.28 egyenlet

A transzcendens Kepler-egyenletből E = E(t) meghatározható, de csak egy végtelen sor formájában (numerikus módon megoldható).

A kéttest-probléma alkalmazásával a Johannes Kepler által felállított bolygómozgási törvények az eredetinél jóval komolyabb matematikai alapot kapnak.

Hasonlítsuk össze az egyes törvények Kepler által kimondott alakját a kéttest-probléma formalizmusa révén levezethető eredményekkel!

Ahogy az előző fejezetben láttuk, a kéttest-probléma leírásából következik, hogy a pályák alakja kúpszelet, ami az összenergia függvényében ellipszis, parabola vagy hiperbola lehet. A bolygók (melyekre Kepler eredetileg kimondta törvényét) valóban ellipszispályákon keringenek a Nap körül (illetve más csillagok körül), de kisebb égitestek (üstökösök, aszteroidák, űrszondák) esetében gyakori a parabola vagy hiperbola alakú pálya.

1.32. ábra - Kepler II. törvénye

Más szavakkal: a felületi sebesség a mozgás során állandó.

Szintén az előző fejezetben láttuk, hogy felírható az impulzusmomentum megmaradása:

1.33. ábra - 5.29 egyenlet

Felhasználva a  v = u-ω helyettesítést (ahol tehát ω a pericentrum argumentuma, v pedig a valódi anomália), valamint azt, hogy ω állandó, ez átírható:

1.34. ábra - 5.30 egyenlet

Mivel a felületi sebesség definíciója:

1.35. ábra - 5.31 egyenlet

, ezért az előzőekből pontosan az következik, hogy ez állandó.

Felhasználva a redukált tömeg μ = k²(m₁+m₂) definícióját, valamint a

1.36. ábra - 5.32 egyenlet

középmozgás-definíciót, megkapjuk a

1.37. ábra - 5.33 egyenlet

összefüggést, ami jóval többet mond, mint az eredeti Kepler-törvény: megadja, hogy az arányosság a két égitest tömegétől függ. Nap-bolygó rendszer esetében a bolygó tömege általában elhanyagolható, így az arányossági tényező a Nap körül keringő minden égitestre ugyanakkora lesz – a nagyon pontos égi mechanikai számításokhoz viszont szükség van a kisebb tömeg pontos ismeretére is.

A háromtest-probléma speciális esete, melyben az egyik tömegpont tömegét elhanyagolhatóan kicsinek választjuk a másik kettőhöz képest.

Írjuk fel a mozgásegyenleteket:

1.40. ábra - 5.37 egyenlet

Az egyik tömegpont (legyen az m₃) tömege tartson a nullához (de ne érje el azt)! Így az első két egyenlet felírható:

1.41. ábra - 5.38 egyenlet

(2a), (2b) és (1c) egyenletek írják le a mozgást; az első kettő közelítő, míg a harmadik pontos. A (2a)-(2b) egyenletek megoldása az, hogy az m₁, m₂ a közös tömegközéppont körül kúpszelet alakú pályán mozog. Az m₁, m₂ tömegektől és az r₁, r₂, r₃ vektoroktól függően több esetet különböztetünk meg:

Írjuk le a korlátozott háromtest-problémát forgó koordináta-rendszerben:

1.42. ábra - 5.39 egyenlet

, ahol

1.43. ábra - 5.40 egyenlet

, μ = m₂/(m₁+m₂) pedig az ún. redukált tömeg; Ω-t effektív potenciálnak nevezik. Fontos, hogy itt most a „t” szerinti differenciálás nem idő, hanem a két fő tömegpont középanomáliája szerint zajlik.

1.44. ábra - A korlátozott háromtest-probléma konfigurációja

Ha a (3a) és (3b) egyenleteket dx/dt-vel és dy/dt-vel rendre megszorozzuk, összeadjuk és integráljuk, megkapjuk az ún Jacobi-integrált, a korlátozott háromtest-probléma egyetlen ismert integrálját; C a Jacobi-konstans:

1.45. ábra - 5.41 egyenlet

A korlátozott háromtest-probléma forgó koordináta-rendszerben vett mozgásegyenleteinek az

1.46. ábra - 5.42 egyenlet

feltételt kielégítő megoldásait egyensúlyi megoldásoknak nevezzük, melyeket a

1.47. ábra - 5.43 egyenlet

egyenletek adják.

Megoldásként 5 pontot kapunk, melyeket Lagrange-pontoknak nevezünk. Ezekből három az x tengelyen van, az L4 és L5 pontok pedig egyenlő oldalú háromszögeket alkotnak a (μ-1,0) és (μ,0) pontokkal – ezek koordinátái:

1.48. ábra - 5.44 egyenlet

1.49. ábra - A korlátozott háromtest-probléma egyensúlyi megoldásai, az ún. Lagrange-pontok

Az első három Lagrange-pont sohasem stabil (azaz az onnan kimozdított 3. test nem tér oda vissza), míg a 4-es és 5-ös lehet stabil, ha nagy a különbség a két fő tömeg között. Utóbbiak körül nagy amplitúdójú mozgás is lehetséges (mind rövid, mind hosszú periódussal). Ezeket librációs mozgásnak, így az L pontokat librációs pontoknak is nevezik. A Nap–Föld rendszer Lagrange-pontjaiban több műhold és űrtávcső is működik (működött) (pl.L ₁: SOHO, SDO, L₂: Herschel, WMAP, Planck), míg a Jupiter–Nap rendszer L₄ és L₅ librációs pontjaiban keringenek az ún. trójai kisbolygók.

1.50. ábra - A trójai aszteroidák a Nap–Jupiter rendszer Lagrange-pontjai körül mozognak.

A Jacobi-integrál felhasználásával meghatározhatóak a mozgás számára lehetséges tartományok. Legyen a harmadik tömegpont sebessége V, ekkor:

1.51. ábra - 5.45 egyenlet

A szükséges kezdőfeltételek ismeretében a kezdeti állapotra érvényes C₀ konstans meghatározható. Mivel V² nemnegatív szám, ezért C₀ esetén mozgás csak ott lehetséges, ahol:

1.52. ábra - 5.46 egyenlet

Azokat a görbéket, melyek mentén a fenti egyenlőtlenség nullát ad, zérósebességű vagy Hill-görbéknek nevezzük; ezek választják el a mozgás számára lehetséges és tiltott tartományokat (térbeli korlátozott háromtest-probléma esetén Hill-felületekről beszélünk).

A Hill-féle stabilitás különösen érdekes a csillag-bolygó-hold hármas rendszerekben. Ahhoz, hogy egy hold stabilan tudjon keringeni egy bolygó körül, a pályájához tartozó Jacobi-konstansnak nagyobbnak kell lennie, mint a csillag-bolygó rendszer L₂ pontjához tartozó Jacobi-konstansnak:

1.53. ábra - 5.47 egyenlet

A Nap–Föld–Hold rendszer esetében C_hold = 3,0012, míg C_L2 = 3,0009; tehát a Hold mozgása Hill-értelemben stabil.

1.54. ábra - A Nap–Föld rendszer Lagrange-pontjait és a körülöttük végbemehető mozgásokat, valamint a rendszer Hill-zónáit (a két égitest körüli, szférikus tartományokat) bemutató ábra).

A Föld körül keringő műholdak és egyéb égitestek különböző pályákon mozoghatnak. A pályák csoportosítása elsősorban az egyes pályaelemek alapján történik:

1.58. ábra - Műholdpályák a Föld körül

A h = 35 768 km-es magassághoz tartozó speciális pálya az ún. geoszinkron pálya: ennek jellegzetessége, hogy a rajta mozgó műhold keringési ideje megegyezik a Föld tengelyforgási idejével (T = 24 óra = 86400 s):

1.59. ábra - 5.50 egyenlet

Innen a félnagytengely: a = 42 164 km, a földfelszín feletti magasság pedig: h = a – R_Föld = 42 164 km – 6376 km = 35 768 km.

Ha a pálya excentricitása és inklinációja is 0, tehát a szonda 35 768 km magasságú körpályán kering az Egyenlítő síkjában, akkor geostacionárius pályáról beszélünk: az így keringő műhold mindig a Föld egy adott pontja fölött tartózkodik, látszólag mozdulatlan; sok távközlési műhold mozog ilyen pályán (az adatátvitel könnyebbsége miatt).

1.60. ábra - Műholdak geostacionárius pályára (kék szín) állításának folyamata először egy LEO pálya (sárga), majd egy átmeneti pálya (narancssárga) beiktatásával.

Léteznek további speciális pályák, is, mint pl. a napszinkron pálya (ekkor a műhold képes követni a Nap irányának a Föld keringéséből adódó, naponta kb. 1 fokos változását, így a műhold az adott terület fölött mindig ugyanabban a napszakban repülhet el – ez idális pl. a térképező műholdak számára), vagy a különböző távközlési és navigációs műholdcsaládok pályái (GPS, Molnyija stb.).

A bolygóközi térben mozgó űrszondák számára két fontos tényező alakítja ki a pályák alakját: vagy a legrövidebb idő alatt, vagy a legkisebb energiafogyasztással kell eljutniuk céljukhoz. Utóbbi esetben a Hohmann-ellipszis nevű átmeneti pályát alkalmazzák: ennek perihéliumtávolsága a Naphoz közelebbi bolygó, aphélium-távolsága a Naptól távolabbi bolygó fél nagytengelyével egyezik meg; a pálya fél nagytengelye a már említett két bolygó pályája fél nagytengelyének számtani közepe.

Ennek a pályának az a hátránya, hogy egyrészt nem a leggyorsabb úton juttatja a szondát a célbolygóhoz, másrészt az indítás nem történhet tetszőleges időpontban, csak az ún. indítási ablakokban (ezek azok az időszakok, mikor az űrszondát indítva az úgy érkezik a célpont távolságába, hogy a bolygó is éppen akkor érjen pályája azon szakaszába). Ezek jellemzően néhány hetes időszakok, melyek pl. a Mars esetében kb. két évente követik egymást.

1.61. ábra - A Föld és a Mars közötti Hohmann-pálya

A bolygóközi repülések során az ún. gravitációs hintamanőverek révén lehetőség van a szondák sebességének, illetve a mozgás irányának megváltoztatására. Ekkor a szondának annyira meg kell közelítenie egy bolygót, hogy bekerüljön annak gravitációs terébe, de sebessége még meghaladja az ottani szökési sebességet. Így a pálya parabola alakú lesz, és a szonda sebessége – a bolygó gravitációs teréből nyert impulzusmomentum révén – nagyobb lesz, mint eredetileg volt. Ha az a cél, hogy a szonda pályára álljon a bolygó körül, akkor a relatív sebességet fékezéssel csökkenteni kell.

1.62. ábra - Gyorsítás a gravitációs hintamanőver segítségével

1.63. ábra - Lassítás a gravitációs hintamanőver segítségével

1.64. ábra - A Cassini-űrszonda többszörös hintamanőverekkel (2xVénusz, Föld, Jupiter) tarkított útja a Szaturnusz rendszeréig