Tartalom

1. Égi mechanika
I. N-test probléma
II. Kéttest-probléma I.
III. Kéttest-probléma II.: pályaelemek, a mozgás időbeli lefolyása, a Kepler-törvények
III/1. Pályaelemek
III/2. A mozgás időbeli lefolyása
III/3. A Kepler-törvények
IV. Háromtest-probléma
IV/1. A korlátozott háromtest-probléma leírása
IV/2. Egyensúlyi megoldások
IV/3. Hill-stabilitás
V. Műholdak és űrszondák pályái
V/1. A műholdak pályái
V/2. Űrszondák: pályák és mozgás a bolygóközi térben
VI. Égi mechanikai paradoxon

Az ábrák listája

1.1. 5.1 egyenlet
1.2. 5.2 egyenlet
1.3. 5.3 egyenlet
1.4. 5.4 egyenlet
1.5. 5.5 egyenlet
1.6. 5.6 egyenlet
1.7. 5.7 egyenlet
1.8. 5.8 egyenlet
1.9. 5.9 egyenlet
1.10. 5.10 egyenlet
1.11. 5.11 egyenlet
1.12. 5.12 egyenlet
1.13. 5.13 egyenlet
1.14. 5.14 egyenlet
1.15. 5.15 egyenlet
1.16. 5.16 egyenlet
1.17. 5.17 egyenlet
1.18. 5.18 egyenlet
1.19. 5.19 egyenlet
1.20. 5.20 egyenlet
1.21. 5.21 egyenlet
1.22. Kúpszeletek
1.23. 5.22 egyenlet
1.24. Pályaelemek
1.25. 5.23 egyenlet
1.26. Elliptikus mozgás
1.27. 5.24 egyenlet
1.28. 5.25 egyenlet
1.29. 5.26 egyenlet
1.30. 5.27 egyenlet
1.31. 5.28 egyenlet
1.32. Kepler II. törvénye
1.33. 5.29 egyenlet
1.34. 5.30 egyenlet
1.35. 5.31 egyenlet
1.36. 5.32 egyenlet
1.37. 5.33 egyenlet
1.38. 5.35 egyenlet
1.39. 5.36 egyenlet
1.40. 5.37 egyenlet
1.41. 5.38 egyenlet
1.42. 5.39 egyenlet
1.43. 5.40 egyenlet
1.44. A korlátozott háromtest-probléma konfigurációja
1.45. 5.41 egyenlet
1.46. 5.42 egyenlet
1.47. 5.43 egyenlet
1.48. 5.44 egyenlet
1.49. A korlátozott háromtest-probléma egyensúlyi megoldásai, az ún. Lagrange-pontok
1.50. A trójai aszteroidák a Nap–Jupiter rendszer Lagrange-pontjai körül mozognak.
1.51. 5.45 egyenlet
1.52. 5.46 egyenlet
1.53. 5.47 egyenlet
1.54. A Nap–Föld rendszer Lagrange-pontjait és a körülöttük végbemehető mozgásokat, valamint a rendszer Hill-zónáit (a két égitest körüli, szférikus tartományokat) bemutató ábra).
1.55. 5.48 egyenlet
1.56. 5.49 egyenlet
1.57. Egy mesterséges égitest lehetséges pályái (Fizika 11-12. tk. érettségire, Mozaik Kiadó, 2008)
1.58. Műholdpályák a Föld körül
1.59. 5.50 egyenlet
1.60. Műholdak geostacionárius pályára (kék szín) állításának folyamata először egy LEO pálya (sárga), majd egy átmeneti pálya (narancssárga) beiktatásával.
1.61. A Föld és a Mars közötti Hohmann-pálya
1.62. Gyorsítás a gravitációs hintamanőver segítségével
1.63. Lassítás a gravitációs hintamanőver segítségével
1.64. A Cassini-űrszonda többszörös hintamanőverekkel (2xVénusz, Föld, Jupiter) tarkított útja a Szaturnusz rendszeréig
1.65. 5.51 egyenlet
1.66. 5.52 egyenlet
1.67. 5.53 egyenlet
1.68. 5.54 egyenlet
1.69. 5.55 egyenlet
1.70. 5.56 egyenlet
1.71. Poynting–Robertson-effektus

1. fejezet - Égi mechanika

I. N-test probléma

Általános esetben, N darab gravitációsan kölcsönható test mozgásának vizsgálata az ún. N-test probléma.

Feltevés: a rendszerben csak a gravitációs erők lépnek fel. Ekkor az i-edik és j-edik pont között ható erő:

1.1. ábra - 5.1 egyenlet

5.1 egyenlet

, ahol

1.2. ábra - 5.2 egyenlet

5.2 egyenlet

a két pont közötti távolságvektor.

A mozgásegyenletek a következő formában írhatóak fel:

1.3. ábra - 5.3 egyenlet

5.3 egyenlet

Ez egy N tagú, másodrendű differenciálegyenlet-rendszert jelent, mely – a speciális esetektől eltekintve – csak numerikusan oldható meg.

Felírhatóak ugyanakkor a mozgásegyenletek ún. klasszikus első integráljai, melyek révén a differenciálegyenletek száma valamelyest redukálhatóak:

  1. Tömegközépponti integrálok:

1.4. ábra - 5.4 egyenlet

5.4 egyenlet

, ahol az a és b konstans vektorok; az egyenletek azt fejezik ki, hogy a rendszer tömegközéppontja (külső erők hiányában) egyenes vonalú, egyenletes mozgást végez, vagy nyugalomban van (ha a = 0).

  1. Impulzusmomentum-integrál:

1.5. ábra - 5.5 egyenlet

5.5 egyenlet

, ahol c konstans vektor, a rendszer impulzusmomentuma.

  1. Energiaintegrál:

1.6. ábra - 5.6 egyenlet

5.6 egyenlet

, ahol h konstans, a rendszer összenergiája.

II. Kéttest-probléma I.

Speciális égi mechanikai probléma, melyben két tömegpont között csak a kölcsönös gravitációs vonzóerők hatnak.

A mozgásegyenletek:

1.7. ábra - 5.7 egyenlet

5.7 egyenlet

, ahol k2 = γ a gravitációs állandó. A feladat r1 = r1(t) és r2 = r2(t) egyenletek megoldása.

A két darab másodrendű differenciálegyenlet, (1) és (2) koordinátákra kiírva 6 egyenletet és összesen 12 integrációs állandót jelent.

Adjuk össze (1)-et és (2)-t (koordinátákra kiírva), majd integráljuk kétszer idő szerint:

1.8. ábra - 5.8 egyenlet

5.8 egyenlet

Vezessük be a tömegközéppont fogalmát:

1.9. ábra - 5.9 egyenlet

5.9 egyenlet

Ez lehetővé teszi, hogy a kéttest-problémáról áttérjünk az ún. egycentrum-problémára (OXYZ → P0XYZ koordinátarendszer-váltás).

1.10. ábra - 5.10 egyenlet

5.10 egyenlet

, ahol

1.11. ábra - 5.11 egyenlet

5.11 egyenlet

Így (4) és (5) átírható:

1.12. ábra - 5.12 egyenlet

5.12 egyenlet

Ez pedig ugyanaz, mint (1) - (2), vagyis P2-nek P1-hez viszonyított mozgása.

Mutassuk meg, hogy ez a mozgás síkban zajlik!

Szorozzuk be a (6) egyenletet vektoriálisan a helyvektorral, majd integráljuk az idő szerint az egyenlet mindkét oldalát:

1.13. ábra - 5.13 egyenlet

5.13 egyenlet

Az így kapott egyenlet bal oldala az impulzusmomentumot jelöli, ami eszerint állandó.

Skalárisan beszorozva ezt az egyenletet, és koordináták szerint kiírva ezt kapjuk:

1.14. ábra - 5.14 egyenlet

5.14 egyenlet

Ez pedig a pályasík egyenlete → tehát a mozgás síkmozgás!

Legyen az alapsík a pályasík (P1XYZ → P1X1Y1Z1)!

A mozgás egyenletei:

1.15. ábra - 5.15 egyenlet

5.15 egyenlet

A két egyenlet átalakításából az impulzusmomentum pedig:

1.16. ábra - 5.16 egyenlet

5.16 egyenlet

A (6) egyenletet idő szerint integrálva és átrendezve az energia állandóságára vezető összefüggést kapunk, amit – felhasználva a μ = k2(m1+m2) helyettesítést – egyszerűbb formába is írhatunk:

1.17. ábra - 5.17 egyenlet

5.17 egyenlet

Ha v=0 → r = - μ/h : zérósebességű felületek

Térjünk át polárkoordinátákra (x1, y1 → r, u koordináták)!

Mozgásegyenletek:

1.18. ábra - 5.18 egyenlet

5.18 egyenlet

Impulzusmomentum:

1.19. ábra - 5.19 egyenlet

5.19 egyenlet

Energia:

1.20. ábra - 5.20 egyenlet

5.20 egyenlet

Továbbra is az r = r(t) egyenletet kell megoldanunk, azaz jelen esetben először r = r(u), majd u = u(t) egyenletet!

Ehhez az impulzusmomentum képletét felhasználva át kell térni az u szerinti deriválásra, és így kifejezni r-t az energiaegyenletből.

Felhasználva a p = c2/μ és a v = u-ω helyettesítéseket (ahol p a pericentrum-távolság, ω a fenti műveletek során keletkező állandó, egyébként a pericentrum argumentuma nevű szögmennyiség, v pedig a valódi anomália nevű szögmennyiség) elvégezve az alábbi megoldást kapjuk (e az excentricitás):

1.21. ábra - 5.21 egyenlet

5.21 egyenlet

Vagyis a mozgás kúpszelet alakú pályán történik!

Ez lehet:

  1. ellipszis (e < 1, h < 0) – az összenergia negatív

  2. parabola (e =1, h = 0) – az összenergia nulla

  3. hiperbola (e > 1, h > 0) – az összenergia pozitív

1.22. ábra - Kúpszeletek

Kúpszeletek

Pericentrum (a két test legkisebb távolsága): v = 0o, rmin = p / (1+e)

Apocentrum (a két test legnagyobb távolsága): v = 180o, rmax = p / (1-e)

Ellipszis és hiperbola esetén felírható: p = a (1-e2), ahol „a” a pálya félnagytengelye.

Ezt beírva a pályaegyenletbe:

1.23. ábra - 5.22 egyenlet

5.22 egyenlet

Felhasználva e és p definícióját azt az érdekes összefüggést kapjuk, hogy a = - μ / 2h → vagyis az energia és a pálya félnagytengelye egymásból meghatározható!

III. Kéttest-probléma II.: pályaelemek, a mozgás időbeli lefolyása, a Kepler-törvények

III/1. Pályaelemek

Egy égitest gravitációs terében keringő objektumok (pl. kettőscsillagok komponensei, bolygók, holdak, stb.) pályájának pontos meghatározására szolgáló paraméterek. Általában a következő hat paraméterrel adják meg egy keringő objektum pályáját:

  1. i: pályahajlás vagy inklináció; a keringési sík hajlásszöge az alapsíkhoz képest

  2. a: a pályaellipszis fél nagytengelye

  3. e: numerikus excentricitás; a pályaellipszis lapultságát adja meg, definíció szerint: e = (a2 + b2)1/2/a , ahol b a pályaellipszis fél kistengelye

  4. ω: a P pericentrum távolsága a felszálló csomótól (az az irány, ahol a kérdéses égitest pályája délről észak felé haladva metszi az alapsíkot); a keringési síkban mérjük, a pericentrum iránya és a felszálló csomó által bezárt (pozitív irányban felvett) szög nagysága

  5. Ω: a felszálló csomó hossza; az alapsíkban, az alapirány és a felszálló csomó által bezárt szög nagysága

  6. τ: a keringő égitest (valamelyik) pericentrum-átmenetének időpontja

1.24. ábra - Pályaelemek

Pályaelemek

III/2. A mozgás időbeli lefolyása

A mozgás pályájának ismeretében meghatározható a mozgás időbeli lefolyása, azaz az r(t) függvény. Mivel r-nek a v valódi anomáliától való függését ismerjük, a feladat a v(t) függvény meghatározása. Írjuk fel az impulzusmomentum-egyenletet v felhasználásával:

1.25. ábra - 5.23 egyenlet

5.23 egyenlet

Ez az egyenlet azonban véges formában nem integrálható, így szükség van v helyett egy új változó bevezetésére. Láttuk, hogy a mozgás pályája ellipszis, parabola vagy hiperbola, az energiától függően. Az új változó bevezetése függ a pálya típusától. Mivel a gyakorlatban elliptikus pályák fordulnak elő leggyakrabban (pl. bolygók mozgása), itt csak az elliptikus mozgás esetét tárgyaljuk.

1.26. ábra - Elliptikus mozgás

Elliptikus mozgás

Elliptikus mozgás esetén a v valódi anomália helyett vezessük be az E excentrikus anomáliát. Rajzoljuk meg ehhez az ellipszis főkörét, ami egy a sugarú kör az ellipszis középpontja körül. Az m2 tömegponton át húzzunk egyenest az ellipszis nagytengelyére merőleges irányban, így kapunk egy metszéspontot a főkörön. Ezt a metszéspontot az ellipszis középpontjával összekötve a kapott szög az E excentrikus anomália.

Trigonometrikus azonosságok felhasználásával kiderül, hogy v és E kapcsolata csak e-től függ:

1.27. ábra - 5.24 egyenlet

5.24 egyenlet

Az r helyvektor nagysága pedig így adható meg:

1.28. ábra - 5.25 egyenlet

5.25 egyenlet

Beírva E-t v helyére, az impulzusmomentum-egyenlet így alakul:

1.29. ábra - 5.26 egyenlet

5.26 egyenlet

Az egyenletet integrálva megoldásként az ún. Kepler-egyenletet kapjuk:

1.30. ábra - 5.27 egyenlet

5.27 egyenlet

, ahol τ a pericentrum-átmenet időpontja, n pedig az ún. középmozgás:

1.31. ábra - 5.28 egyenlet

5.28 egyenlet

A transzcendens Kepler-egyenletből E = E(t) meghatározható, de csak egy végtelen sor formájában (numerikus módon megoldható).

III/3. A Kepler-törvények

A kéttest-probléma alkalmazásával a Johannes Kepler által felállított bolygómozgási törvények az eredetinél jóval komolyabb matematikai alapot kapnak.

Hasonlítsuk össze az egyes törvények Kepler által kimondott alakját a kéttest-probléma formalizmusa révén levezethető eredményekkel!

  1. I. törvény: A bolygók a Nap körül ellipszispályákon keringenek, melyek egyik fókuszában a Nap helyezkedik el.

Ahogy az előző fejezetben láttuk, a kéttest-probléma leírásából következik, hogy a pályák alakja kúpszelet, ami az összenergia függvényében ellipszis, parabola vagy hiperbola lehet. A bolygók (melyekre Kepler eredetileg kimondta törvényét) valóban ellipszispályákon keringenek a Nap körül (illetve más csillagok körül), de kisebb égitestek (üstökösök, aszteroidák, űrszondák) esetében gyakori a parabola vagy hiperbola alakú pálya.

  1. II. törvény: A bolygók vezérsugara (a bolygókat a Nappal összekötő szakasz) az idővel arányos területeket súrol.

1.32. ábra - Kepler II. törvénye

Kepler II. törvénye

Más szavakkal: a felületi sebesség a mozgás során állandó.

Szintén az előző fejezetben láttuk, hogy felírható az impulzusmomentum megmaradása:

1.33. ábra - 5.29 egyenlet

5.29 egyenlet

Felhasználva a  v = u-ω helyettesítést (ahol tehát ω a pericentrum argumentuma, v pedig a valódi anomália), valamint azt, hogy ω állandó, ez átírható:

1.34. ábra - 5.30 egyenlet

5.30 egyenlet

Mivel a felületi sebesség definíciója:

1.35. ábra - 5.31 egyenlet

5.31 egyenlet

, ezért az előzőekből pontosan az következik, hogy ez állandó.

  1. III. törvény: A bolygók Naptól számított távolságainak harmadik hatványai úgy aránylanak egymáshoz, mint a keringési idők négyzetei.

Felhasználva a redukált tömeg μ = k2(m1+m2) definícióját, valamint a

1.36. ábra - 5.32 egyenlet

5.32 egyenlet

középmozgás-definíciót, megkapjuk a

1.37. ábra - 5.33 egyenlet

5.33 egyenlet

összefüggést, ami jóval többet mond, mint az eredeti Kepler-törvény: megadja, hogy az arányosság a két égitest tömegétől függ. Nap-bolygó rendszer esetében a bolygó tömege általában elhanyagolható, így az arányossági tényező a Nap körül keringő minden égitestre ugyanakkora lesz – a nagyon pontos égi mechanikai számításokhoz viszont szükség van a kisebb tömeg pontos ismeretére is.

IV. Háromtest-probléma

Az égi mechanika leghíresebb problémája az ún. háromtest-probléma, azaz három tömegpontnak tekinthető test mozgásának meghatározása abban az esetben, ha köztük csak a gravitációs vonzóerők hatnak. Bár a feladat látszólag egyszerű, valójában a megoldások nem speciális esetekben igen bonyolultak.

Az általános háromtest-probléma mozgásegyenleteinek egységes formulája:

1.38. ábra - 5.35 egyenlet

5.35 egyenlet

, ahol U az égi mechanikában használatos erőfüggvény (a potenciális energia -1-szerese):

1.39. ábra - 5.36 egyenlet

5.36 egyenlet

Az első egyenlet egy tizennyolcadrendű differenciálegyenlet-rendszer, amely a klasszikus első integrálok felhasználásával hatodrendűvé redukálható.

A továbbiakban egy speciális esetet, az ún. korlátozott háromtest-problémát vizsgáljuk.

IV/1. A korlátozott háromtest-probléma leírása

A háromtest-probléma speciális esete, melyben az egyik tömegpont tömegét elhanyagolhatóan kicsinek választjuk a másik kettőhöz képest.

Írjuk fel a mozgásegyenleteket:

1.40. ábra - 5.37 egyenlet

5.37 egyenlet

Az egyik tömegpont (legyen az m3) tömege tartson a nullához (de ne érje el azt)! Így az első két egyenlet felírható:

1.41. ábra - 5.38 egyenlet

5.38 egyenlet

(2a), (2b) és (1c) egyenletek írják le a mozgást; az első kettő közelítő, míg a harmadik pontos. A (2a)-(2b) egyenletek megoldása az, hogy az m1, m2 a közös tömegközéppont körül kúpszelet alakú pályán mozog. Az m1, m2 tömegektől és az r1, r2, r3 vektoroktól függően több esetet különböztetünk meg:

  1. Korlátozott háromtest-probléma: A pálya kör, r1, r2, r3 mindig egy síkban vannak. Ha r3 az (r1, r2) síkon kívül is tartózkodhat (azaz térbeli mozgást is végezhet), akkor térbeli korlátozott háromtest-problémáról beszélünk (pl. nagy pályahajlású kisbolygók esetében).

  2. Elliptikus korlátozott háromtest-probléma: A két fő tömegpont relatív pályája ellipszis. Szintén van síkbeli és térbeli változata. Általában jobb közelítést ad az előző esetnél.

  3. Perturbált kéttest-probléma: A két fő tömegpont közül az egyik tömege (pl. m1) jóval kisebb a másik tömegénél.A harmadik test mozgását ekkor elsősorban  m1 gravitációs vonzása határozza meg, melyet m2 kis mértékben befolyásol. Főleg a bolygók egymásra gyakorolt perturbációinak vizsgálatában alkalmazható.

  4. Kétcentrum-probléma:  m1 és m2 legyen rögzített helyzetű (tehát a 2a-2b egyenletek most nem érvényesek!), a harmadik test pedig ezek gravitációs terében mozog. A probléma így analitikusan megoldható. Jellemzően a Föld gravitációs terében keringő műholdak mozgását lehet jól leírni ezen a módon.

Írjuk le a korlátozott háromtest-problémát forgó koordináta-rendszerben:

1.42. ábra - 5.39 egyenlet

5.39 egyenlet

, ahol

1.43. ábra - 5.40 egyenlet

5.40 egyenlet

, μ = m2/(m1+m2) pedig az ún. redukált tömeg; Ω-t effektív potenciálnak nevezik. Fontos, hogy itt most a „t” szerinti differenciálás nem idő, hanem a két fő tömegpont középanomáliája szerint zajlik.

1.44. ábra - A korlátozott háromtest-probléma konfigurációja

A korlátozott háromtest-probléma konfigurációja

Ha a (3a) és (3b) egyenleteket dx/dt-vel és dy/dt-vel rendre megszorozzuk, összeadjuk és integráljuk, megkapjuk az ún Jacobi-integrált, a korlátozott háromtest-probléma egyetlen ismert integrálját; C a Jacobi-konstans:

1.45. ábra - 5.41 egyenlet

5.41 egyenlet

IV/2. Egyensúlyi megoldások

A korlátozott háromtest-probléma forgó koordináta-rendszerben vett mozgásegyenleteinek az

1.46. ábra - 5.42 egyenlet

5.42 egyenlet

feltételt kielégítő megoldásait egyensúlyi megoldásoknak nevezzük, melyeket a

1.47. ábra - 5.43 egyenlet

5.43 egyenlet

egyenletek adják.

Megoldásként 5 pontot kapunk, melyeket Lagrange-pontoknak nevezünk. Ezekből három az x tengelyen van, az L4 és L5 pontok pedig egyenlő oldalú háromszögeket alkotnak a (μ-1,0) és (μ,0) pontokkal – ezek koordinátái:

1.48. ábra - 5.44 egyenlet

5.44 egyenlet

1.49. ábra - A korlátozott háromtest-probléma egyensúlyi megoldásai, az ún. Lagrange-pontok

A korlátozott háromtest-probléma egyensúlyi megoldásai, az ún. Lagrange-pontok

Az első három Lagrange-pont sohasem stabil (azaz az onnan kimozdított 3. test nem tér oda vissza), míg a 4-es és 5-ös lehet stabil, ha nagy a különbség a két fő tömeg között. Utóbbiak körül nagy amplitúdójú mozgás is lehetséges (mind rövid, mind hosszú periódussal). Ezeket librációs mozgásnak, így az L pontokat librációs pontoknak is nevezik. A Nap–Föld rendszer Lagrange-pontjaiban több műhold és űrtávcső is működik (működött) (pl.L 1: SOHO, SDO, L2: Herschel, WMAP, Planck), míg a Jupiter–Nap rendszer Lés Llibrációs pontjaiban keringenek az ún. trójai kisbolygók.

1.50. ábra - A trójai aszteroidák a Nap–Jupiter rendszer Lagrange-pontjai körül mozognak.

A trójai aszteroidák a Nap–Jupiter rendszer Lagrange-pontjai körül mozognak.

IV/3. Hill-stabilitás

A Jacobi-integrál felhasználásával meghatározhatóak a mozgás számára lehetséges tartományok. Legyen a harmadik tömegpont sebessége V, ekkor:

1.51. ábra - 5.45 egyenlet

5.45 egyenlet

A szükséges kezdőfeltételek ismeretében a kezdeti állapotra érvényes C0 konstans meghatározható. Mivel V2 nemnegatív szám, ezért C0 esetén mozgás csak ott lehetséges, ahol:

1.52. ábra - 5.46 egyenlet

5.46 egyenlet

Azokat a görbéket, melyek mentén a fenti egyenlőtlenség nullát ad, zérósebességű vagy Hill-görbéknek nevezzük; ezek választják el a mozgás számára lehetséges és tiltott tartományokat (térbeli korlátozott háromtest-probléma esetén Hill-felületekről beszélünk).

A Hill-féle stabilitás különösen érdekes a csillag-bolygó-hold hármas rendszerekben. Ahhoz, hogy egy hold stabilan tudjon keringeni egy bolygó körül, a pályájához tartozó Jacobi-konstansnak nagyobbnak kell lennie, mint a csillag-bolygó rendszer L2 pontjához tartozó Jacobi-konstansnak:

1.53. ábra - 5.47 egyenlet

5.47 egyenlet

A Nap–Föld–Hold rendszer esetében Chold = 3,0012, míg CL2 = 3,0009; tehát a Hold mozgása Hill-értelemben stabil.

1.54. ábra - A Nap–Föld rendszer Lagrange-pontjait és a körülöttük végbemehető mozgásokat, valamint a rendszer Hill-zónáit (a két égitest körüli, szférikus tartományokat) bemutató ábra).

A Nap–Föld rendszer Lagrange-pontjait és a körülöttük végbemehető mozgásokat, valamint a rendszer Hill-zónáit (a két égitest körüli, szférikus tartományokat) bemutató ábra).

V. Műholdak és űrszondák pályái

A műholdak és űrszondák sokféle pályán helyezkedhetnek el, és rendkívül sokrétű feladatot láthatnak el. Ahhoz, hogy egy testet Föld körüli pályára állítsunk, vagy a bolygóközi térbe küldjünk, a különböző, ún. kozmikus sebességeknél nagyobb értékre kell felgyorsítanunk azt:

  1. I. kozmikus sebesség (körsebesség): Az a sebesség, mellyel indítva egy test (pl. műhold) az adott égitest (pl. a Föld) körüli pályára képes állni. Körpálya esetén a testet pályán tartó centripetális erő (mely jelen esetben a gravitációs erővel egyezik meg), egyszerűen felírható:

1.55. ábra - 5.48 egyenlet

5.48 egyenlet

Értéke egy Földről indított test esetében 7,9 km/s.

  1. II.kozmikus sebesség (szökési sebesség): Az a minimális sebesség , mellyel a test "elhagyhatja" az adott égitest gravitációs terét, közeléből a végtelenbe távozik. Ehhez a testnek mozgási energiájának legalább akkorának kell lennie, mint a lokális gravitációs potenciális energia:

1.56. ábra - 5.49 egyenlet

5.49 egyenlet

Szokás még definiálni ún. III. és IV. kozmikus sebességet is, melyek a Naprendszer, illetve a Tejútrendszer elhagyásához szükséges minimális sebességeket jelentik (Földről indított űrszonda esetében ezek értéke 16,6 km/s, ill. ~ 500 km/s). Megjegyzendő, hogy az eddigi leggyorsabb, ember alkotta űrszondák (a Naprendszer távoli vidékei felé indított Pioneer-10 és -11, a Voyager-1 és -2, valamint a New Horizons) nagyjából a III. kozmikus sebesség körüli értékkel haladnak a bolygóközi térben.

1.57. ábra - Egy mesterséges égitest lehetséges pályái (Fizika 11-12. tk. érettségire, Mozaik Kiadó, 2008)

Egy mesterséges égitest lehetséges pályái (Fizika 11-12. tk. érettségire, Mozaik Kiadó, 2008)

V/1. A műholdak pályái

A Föld körül keringő műholdak és egyéb égitestek különböző pályákon mozoghatnak. A pályák csoportosítása elsősorban az egyes pályaelemek alapján történik:

  1. excentricitás alapján: körpálya (e=0), elliptikus pálya

  2. inklináció alapján: egyenlítői pálya (i=0o), közepes inklinációjú pálya, poláris pálya (i=90o)

  3. félnagytengely (magasság) alapján: LEO (Low Earth Orbit, 0 < h < 2000 km), MEO (Medium Earth Orbit, 2000 km < h < 35 768 km), GEO (Geosynchronous Earth Orbit, h = 35 768 km), HEO (High Earth Orbit, h > 35768 km).

1.58. ábra - Műholdpályák a Föld körül

Műholdpályák a Föld körül

A h = 35 768 km-es magassághoz tartozó speciális pálya az ún. geoszinkron pálya: ennek jellegzetessége, hogy a rajta mozgó műhold keringési ideje megegyezik a Föld tengelyforgási idejével (T = 24 óra = 86400 s):

1.59. ábra - 5.50 egyenlet

5.50 egyenlet

Innen a félnagytengely: a = 42 164 km, a földfelszín feletti magasság pedig: h = a – RFöld = 42 164 km – 6376 km = 35 768 km.

Ha a pálya excentricitása és inklinációja is 0, tehát a szonda 35 768 km magasságú körpályán kering az Egyenlítő síkjában, akkor geostacionárius pályáról beszélünk: az így keringő műhold mindig a Föld egy adott pontja fölött tartózkodik, látszólag mozdulatlan; sok távközlési műhold mozog ilyen pályán (az adatátvitel könnyebbsége miatt).

1.60. ábra - Műholdak geostacionárius pályára (kék szín) állításának folyamata először egy LEO pálya (sárga), majd egy átmeneti pálya (narancssárga) beiktatásával.

Műholdak geostacionárius pályára (kék szín) állításának folyamata először egy LEO pálya (sárga), majd egy átmeneti pálya (narancssárga) beiktatásával.

Léteznek további speciális pályák, is, mint pl. a napszinkron pálya (ekkor a műhold képes követni a Nap irányának a Föld keringéséből adódó, naponta kb. 1 fokos változását, így a műhold az adott terület fölött mindig ugyanabban a napszakban repülhet el – ez idális pl. a térképező műholdak számára), vagy a különböző távközlési és navigációs műholdcsaládok pályái (GPS, Molnyija stb.).

V/2. Űrszondák: pályák és mozgás a bolygóközi térben

A bolygóközi térben mozgó űrszondák számára két fontos tényező alakítja ki a pályák alakját: vagy a legrövidebb idő alatt, vagy a legkisebb energiafogyasztással kell eljutniuk céljukhoz. Utóbbi esetben a Hohmann-ellipszis nevű átmeneti pályát alkalmazzák: ennek perihéliumtávolsága a Naphoz közelebbi bolygó, aphélium-távolsága a Naptól távolabbi bolygó fél nagytengelyével egyezik meg; a pálya fél nagytengelye a már említett két bolygó pályája fél nagytengelyének számtani közepe.

Ennek a pályának az a hátránya, hogy egyrészt nem a leggyorsabb úton juttatja a szondát a célbolygóhoz, másrészt az indítás nem történhet tetszőleges időpontban, csak az ún. indítási ablakokban (ezek azok az időszakok, mikor az űrszondát indítva az úgy érkezik a célpont távolságába, hogy a bolygó is éppen akkor érjen pályája azon szakaszába). Ezek jellemzően néhány hetes időszakok, melyek pl. a Mars esetében kb. két évente követik egymást.

1.61. ábra - A Föld és a Mars közötti Hohmann-pálya

A Föld és a Mars közötti Hohmann-pálya

A bolygóközi repülések során az ún. gravitációs hintamanőverek révén lehetőség van a szondák sebességének ill. a mozgás irányának megváltoztatására. Ekkor a szondának annyira meg kell közelítenie egy bolygót, hogy bekerüljön annak gravitációs terébe, de sebessége még meghaladja az ottani szökési sebességet. Így a pálya parabola alakú lesz, és a szonda sebessége – a bolygó gravitációs teréből nyert impulzusmomentum révén – nagyobb lesz, mint eredetileg volt. Ha az a cél, hogy a szonda pályára álljon a bolygó körül, akkor a relatív sebességet fékezéssel csökkenteni kell.

1.62. ábra - Gyorsítás a gravitációs hintamanőver segítségével

Gyorsítás a gravitációs hintamanőver segítségével

1.63. ábra - Lassítás a gravitációs hintamanőver segítségével

Lassítás a gravitációs hintamanőver segítségével

1.64. ábra - A Cassini-űrszonda többszörös hintamanőverekkel (2xVénusz, Föld, Jupiter) tarkított útja a Szaturnusz rendszeréig

A Cassini-űrszonda többszörös hintamanőverekkel (2xVénusz, Föld, Jupiter) tarkított útja a Szaturnusz rendszeréig

VI. Égi mechanikai paradoxon

Vizsgáljunk egy M tömegű test körül ellipszis alakú pályán keringő, m tömegű testet (például egy, a Föld körül keringő műholdat)! A keringés sebessége összefügg a két test pillanatnyi távolságával, r-rel:

1.65. ábra - 5.51 egyenlet

5.51 egyenlet

Speciális, kör alakú pálya esetén:

1.66. ábra - 5.52 egyenlet

5.52 egyenlet

Az ún. égi mechanikai paradoxon lényege: gyorsítás esetén a keringő test végeredményképpen lassul, fékezés esetén pedig gyorsul!

Magyarázat:

Az egyszerűség kedvéért vegyünk kör alakú pályán történő mozgást, és számoljuk ki a keringő testnek  a kinetikus és a potenciális energia összegéből előálló teljes mechanikai energiáját:

1.67. ábra - 5.53 egyenlet

5.53 egyenlet

A testet a körpályán tartó (centripetális) erő nem más, mint a gravitációs erő:

1.68. ábra - 5.54 egyenlet

5.54 egyenlet

Ebből a sebességet kifejezve és visszahelyettesítve az energiaegyenletbe:

1.69. ábra - 5.55 egyenlet

5.55 egyenlet

Vagyis a fenti összefüggések alapján E ~ -1/r és v ~ r-1/2.

Fékezés esetén: az összenergia csökken → a pályasugár is csökken → tehát a keringési sebesség nő!

Gyorsítás esetén: az összenergia nő → a pályasugár is nő → tehát a keringési sebesség csökken!

Megvizsgálva a kinetikus és a potenciális energia változását a pályasugár ∆r mértékű megváltozásakor azt kapjuk, hogy a potenciális energia változása kb. kétszerese a kinetikusénak (ebből fakad a paradoxon létrejötte):

1.70. ábra - 5.56 egyenlet

5.56 egyenlet

Az égi mechanikai paradoxon egyik legszemléletesebb példája a Naprendszerben az ún. Poynting–Robertson-effektus.

A Nap körül v sebességgel keringő meteorikus testre a sugárnyomás az aberráció miatt nem pontosan radiális, hanem azzal α szöget bezáró irányban hat (ahol az α szög nagysága a keringési sebesség és a fénysebesség hányadosától függ). A sugárnyomás érintő irányú összetevője a testet fékezi, emiatt – az égi mechanikai paradoxon értelmében – a test mozgása gyorsul, és fokozatosan közeledik a Naphoz.

1.71. ábra - Poynting–Robertson-effektus

Poynting–Robertson-effektus