3.3 A Choi-Williams eloszlás tesztelése

3.3. A Choi-Williams eloszlás tesztelése

Az alábbiakban áttekintjük a Choi-Williams eloszlás viselkedését különböző tesztadatokon. Az ábrákon, amennyiben másképp nem említem, az idő 1-500-ig (nap) halad, a frekvencia 0.0-0.4-ig (ciklus/nap). A wavelet/CWD-térképeket megjelenítendő Gotthardt Zoltánnal közösen készítettünk egy programot, ami a fázist (ha van róla információ) különböző színekkel jelöli, és az egész térkép forgatható valós időben, ami nagy előny, ha több különböző szögből akarjuk az adott eloszlást áttekinteni. Sajnos feliratozott tengelyeket is kirajzolni nagyon körülményes lett volna (a program más hasznos tulajdonságainak rovására), ezért a koordináta-rendszer kezdőpontját egy mesterséges csúccsal jelöltem. Tehát a kezdő koordinátákat minden egyes térképen egy magában (általában a bal felső sarokban) álló éles csúcs jelzi (ez hamis csúcs, az eredeti adatsorban nem szerepel). A főgerinccel párhuzamos az idő-tengely, rá merőleges a frekvencia-tengely. Minden ábra három képből áll, legfelül az analizált jel, alatta balról a wavelet-transzformált, jobbról a CWD található (kivétel az 1.ábra és a 2.ábra, ahol a CWD paraméterezését tesztelem, valamint a 3.ábra ahol rendre a tesztgörbe, a wavelet-, majd a CWD-térkép áll). A wavelet-térképek színesek, itt a szín fázisinformációt jelöl, az ábra felső részén lévő skálának megfelelően (a skála balról jobbra 0.0-1.0-ig jelöli a fázisnak megfelelő színt). A Choi-Williams-eloszlásoknál az ábrák fekete-fehérek, itt ui. nem számoltam fázist, mert nem használom fel, a wavelet-térképeknél is csak szemléltetésnek szántam az amplitúdó és fázis egyidejű megjelenítésére. Valamennyi CWD azonos paraméterekkel készült (kivéve azokat az ábrákat, melyek a CWD különböző paramétereinek hatását szemléltetik): s=0.3, M/2=256. Legfelül az adatfile neve, valamint a forgatás szöge (mindkét tengely mentén) található. Az ábrák alatt a tesztgörbe definíciója, paraméterei találhatók, illetve azonos típusú görbék esetén a jellemző (és ezért változtatott) paraméter.

1. ábra Egy szinuszos komponens az M/2 és a s paraméter hatásának teszteléséhez

i=1,...,2000 és t_i=i, P=50, A=1

a, s=6, M/2=128      b, s=6, M/2=64

c, s=1, M/2=512      d, s=1, M/2=256

e, s=1, M/2=128      f, s=1, M/2=64

g, s=0.3, M/2=512    h, s=0.3, M/2=256

i, s=0.3, M/2=128     j, s=0.3, M/2=64

2. ábra Két szinuszos komponens az M/2 és a s paraméter hatásának teszteléséhez

i=1,...,500 és t_i=i, P₁=50, P₂=100, A₁=A₂=1,

a, s=6, M/2=128 b, s=1, M/2=512

c, s=1, M/2=256 d, s=1, M/2=128

e, s=0.3, M/2=512 f, s=0.3, M/2=256

g, s=0.3, M/2=128 h, s=0.3, M/2=64

3. ábra: 1. Egy szinuszos komponens

i=1,...,500 és t_i=i, P=50, A=1

4. ábra: 2. Két szinuszos komponens szuperpozíciója

i=1,...,500 és t_i=i, P₁=50, P₂=100, A₁=A₂=1

5. ábra: 3. Szinuszos komponens kis fehér zajjal

i=1,...,500 és t_i=i, P=50, A=1, rnd=[+0.25,-0.25]

6. ábra: 3. Szinuszos komponens kis fehér zajjal

rnd=[+0.50,-0.50]

7. ábra: 3. Szinuszos komponens kis fehér zajjal

rnd=[+1.00,-1.00]

8. ábra: 3. Szinuszos komponens nagy fehér zajjal

i=1,...,500 és t_i=i, P=50, A=0.1, rnd=0

9. ábra: 3. Szinuszos komponens nagy fehér zajjal

rnd=[+0.30,-0.30]

10. ábra: 3. Szinuszos komponens nagy fehér zajjal

rnd=[+0.60,-0.60]

11. ábra: 4. Hiányos adatsor

i=1,...,500, P=50, A=1 és t _i=i, ha abs(rnd)<0.5, rnd=[+1,-1]

12. ábra: 4. Hiányos adatsor

rnd=[+2,-2]

13. ábra: 4. Hiányos adatsor

rnd=[+5,-5]

14. ábra: 5. Egy űr az adatsor közepén

i=1,...,500 és t_i=i,P=50, A=1, T_űr=10

15. ábra: 5. Egy űr az adatsor közepén

T_űr=50

16. ábra: 5. Egy űr az adatsor közepén

T_űr=100

17. ábra: 6. Szezonális űrök

i=1,...,500 és t_i=i,P=50, A=1, T_obs+T_űr=36, T_űr=5

18. ábra: 6. Szezonális űrök

T_űr=10

19. ábra: 6. Szezonális űrök

T_űr=20

20. ábra: 4. Ciklikus amplitúdómoduláció

i=1,...,500 és t_i=i, P=50, P_a=250, A=0.8, m_a=0.1

21. ábra: 4. Ciklikus amplitúdómoduláció

m_a=0.3

22. ábra: 4. Ciklikus amplitúdómoduláció

m_a=0.5

23. ábra: 5. Ciklikus amplitúdómoduláció

i=1,...,500 és t_i=i, P=50, P_a=250, A=0.8, m_a=0.1

24. ábra: 5. Ciklikus amplitúdómoduláció

m_a=0.2

25. ábra: 5. Ciklikus amplitúdómoduláció

m_a=0.3

26. ábra: 6. Szinuszos fázismoduláció

i=1,...,500 és P=50, P_f=250, A=1, , m_f=0.25

27. ábra: 6. Szinuszos fázismoduláció

m_f=0.5

28. ábra: 6. Szinuszos fázismoduláció

m_f=1.0

29. ábra: 7. Fázisugrás az adatsor közepén

i=1,...,250:

i=251,...,500:

t_i=i, A=1, P=50, F =0.1

30. ábra: 7. Fázisugrás az adatsor közepén

F =0.2

31. ábra: 7. Fázisugrás az adatsor közepén

F =0.3

32. ábra: 7. Fázisugrás az adatsor közepén

F =0.4

33. ábra: 7. Fázisugrás az adatsor közepén

F =0.5

34. ábra: 7. Fázisugrás az adatsor közepén

F =0.6

35. ábra: 7. Fázisugrás az adatsor közepén

F =0.7

36. ábra: 7. Fázisugrás az adatsor közepén

F =0.8

37. ábra: 7. Fázisugrás az adatsor közepén

F =0.9

38. ábra: 8. Folyamatos periódusváltozás

, ,

i=1,...,500 és P₀=50, A=1, =0.0001

39. ábra: 8. Folyamatos periódusváltozás

=0.0005

40. ábra: 8. Folyamatos periódusváltozás

=0.001.

41.ábra: 9. Kétmódusú oszcilláció

i=1,...,500 és P₁=30, P₂=80, A₁+ A₂=1.2, F =0, A₂/A₁=1

42.ábra: 9. Kétmódusú oszcilláció

A₂/A₁=2

43.ábra: 9. Kétmódusú oszcilláció

A₂/A₁=5

44.ábra: 9. Kétmódusú oszcilláció

i=1,...,500 és P₁=40, P₂=70, A₁+ A₂=1.2, F =0, A₂/A₁=1

45.ábra: 9. Kétmódusú oszcilláció

A₂/A₁=2

46.ábra: 9. Kétmódusú oszcilláció

A₂/A₁=5

47.ábra: 9. Kétmódusú oszcilláció

i=1,...,500 és P₁=50, P₂=60, A₁+ A₂=1.2, F =0, A₂/A₁=1

48.ábra: 9. Kétmódusú oszcilláció

A₂/A₁=2

49.ábra: 9. Kétmódusú oszcilláció

A₂/A₁=5

50. ábra: 10. Módusváltás az adatsor közepén

i=1,...,500 és t_i=i, P₁=31.25, P₂=62.5, F =0,

0<i£250 : A₁=0.2, A₂=0.8; 250<i £500: A₁=0.8, A₂=0.2

51. ábra: 10. Módusváltás az adatsor közepén

F =p/2

52. ábra: 10. Módusváltás az adatsor közepén

F =p

53. ábra: 11. Módusváltás az adatsor közepén

i=1,...,500 és t_i=i, P₁=31.25, P₂=62.5, F =0, (A₂/A₁=9/1)

0<i£250 : A₁=0.1, A₂=0.9; 250<i £500: A₁=0.9, A₂=0.1

54. ábra: 11. Módusváltás az adatsor közepén

0<i£250 : A₁=0.2, A₂=0.8; 250<i£500: A₁=0.8, A₂=0.2

(A₂/A₁=8/2)

55. ábra: 11. Módusváltás az adatsor közepén

0<i£250 : A₁=0.3, A₂=0.7; 250<i£500: A₁=0.7, A₂=0.3

(A₂/A₁=7/3)

Észrevételek (az ábrák szerint sorszámozva):

1. Viszonylag sok ábrát közöltem a Choi-Williams eloszlás paraméterezésével kapcsolatban, mert a módszer nagyon tág határok között hangolható. A számítás a (3.15) képlet alapján történik. Choi és Williams itt bevezetnek két új ablakot, egy szimmetrikus ablak, mely nemnulla a értékekre, pedig egy derékszögű ablak, melynek értéke 1 a intervallumban. A konkrét megvalósításban N értéke rögzített, a maximális frekvenciával adott (Kolláth), M értéke változtatható. A s paraméter szerepéről már megjegyeztük, hogy a felbontáshoz kapcsolódik, növekvő s-ra keskenyebb csúcsokat kapunk, azonban több hamis csúcs is keletkezik. Ha M-et csökkentjük, akkor is romlik a felbontás frekvenciában (különösen feltűnő ez rövid ablak esetén, pl. M/2=64). Növelve M-et viszont nő az amplitúdó levágás az idő-tengely két szélén, mert a CWD (hasonlóan a wavelet-transzformációhoz) érzékeny a hiányos adatokra, ekkor az amplitúdó jelentősen csökken. Ha széles ablakot választunk, akkor ez az amplitúdócsökkenés is határozottabb lesz, a „gerinc” egészen íveltté válik (lsd. 1.c, 1.g). Az 1. ábrán, az egykomponensű koszinusz esetén jól nyomon követhető s és M tiszta hatása.

2. A képet bonyolítja, ha több komponens van jelen, ekkor ugyanis növekvő smellett nő a hamis csúcsok zavaró hatása. Ez némileg kompenzálható M megfelelő választásával (nagyobb M csökkenti a kereszttagok hatását), de M növelésével is óvatosan kell bánni, mert extrém esetben torzítja a térképet. Úgy találtam, hogy ha tudjuk, hogy a vizsgált jel monoperiodikus, vagy a periódusok távol vannak egymástól (P₁/P₂>>2), akkor s-át érdemes nagyra (1-6), M-et kisebbre (200-300) választani. Ha viszont várhatóan több komponens is előfordul a jelben, jobb s-át csökkenteni, M-et növelni (500-600). Nehéz abszolút értékeket javasolni, érdemes az adott problémához illeszteni ezeket a paramétereket, illetve több különböző beállítás mellett megvizsgálni a kapott eredményt. A további tesztek során én s=0.3-t és M/2=256-t használtam, ami ugyan nagy az adatsorok teljes hosszához viszonyítva (ezért nem (sem) egyenes a gerincek teteje), de célom a hamis csúcsok minél teljesebb elnyomása volt, konkrét számításoknál tehát lehet, hogy másként helyes a paraméterezés (bár én M/2-re 2 hatványait használtam, ez nem előírás, tetszőleges egész számot választhatunk).

A további ábrákon együtt szerepel a wavelet térkép és a CWD, a wavelet tulajdonságainak elemzését nem célom megtenni, erre vonatkozólag igen részletes vizsgálatok történtek (Szatmáry, 1994, a tesztadatok paramétereit is dr. Szatmáry Károlynak köszönhetem), inkább a két eljárás összevetésére helyezem a hangsúlyt.

3. Egy szinuszos komponens esetén jól tanulmányozhatók a két térkép közötti jellegzetes különbségek. A wavelet térképpel szemben a CWD szimmetrikus a csúcsra (a wavelet aszimmetriáját az okozza, hogy az ablak szélessége arányos a próbaperiódussal, nagyobb frekvenciák felé haladva csökken, azaz a frekvencia felbontás is csökken), ugyanis itt rögzített ablakszélességgel dolgozunk. Az idő-tengely két végén az amplitúdócsökkenést, valamint a gerinc „talpait” az adatsor végessége okozza. A wavelet előnye, hogy ilyen rövid adatsor (N=500) esetén is egyenes a gerinc, a CWD-t nem sikerült úgy paramétereznem, hogy hasonló hosszúságban állandó amplitúdót adjon vissza. Ha viszont ezt szem előtt tartjuk, a csúcs félszélessége a CWD-nél kedvezőbb.

4. Sajnos a CWD nagyon „tarajos” lesz, ha a két periódus egy határnál közelebb van egymáshoz, lsd. még 41.-49. ábra.

5-7. A jel/zaj arány az 5., 6., 7. ábrán rendre 4, 2, 1. Egyik módszer sem túl érzékeny a csökkenő jel/zaj arányra, a CWD mellett szól, hogy ezt változatlanul keskenyebb csúcs mellett adja, további előnye, hogy a nagyfrekvenciás részen, ahol a wavelet már kezd fodrozódni, majdnem teljesen sima marad. Ez nagyon hasznos tulajdonság, mert a mérési eredmények esetenként pontatlanok, különösen az amatőr csillagászok által szolgáltatottak (nem azért mert ők hanyagabbak lennének, csak (általában) nem rendelkeznek olyan technikával, távcsövekkel, mint hivatásos kollégáik), van úgy, hogy a megfigyelés hibája eléri a fényváltozás amplitúdójának nagyságát, ez azonban nem esik olyan súllyal latba, mint az adatsor hossza.

8-10. A jel/zaj arány a 9., ill. 10. ábránál 1/3 és 1/6. A nagy zaj erősen torzítja mindkét térképet, a CWD -nél azonban egyértelműbb, hogy mi a hamis csúcs, s ezeket is lehet még csökkenteni megfelelő paraméterezéssel (a 9. ábra adatsorán s=0.05, M/2=512-vel egy kicsit tisztább képet kaptam). 1/6-os jel/zaj arány már meghaladja mindkét eljárás képességét, ekkor érdemesebb a Fourier spektrumot használni.

11-13. Minél hiányosabb az adatsor, annál jobban torzulnak a térképek, ám ez a CWD-nél annyira nem szisztematikus, hogy a valódi csúcs elég jól elkülöníthető, a waveletnél szerintem zavaróbb a véggerincek megjelenése.

14-16. Gyakran fordul elő, hogy egy csillag fénygörbéjében kisebb-nagyobb űr van, ezért fontos látni, hogy viselik az adatfeldolgozó módszerek ezt a jelenséget. A waveletnél az amplitúdó jelentősen lecsökken az űr helyén, és egy véggerinc is megjelenik. A CWD-n nem ennyire „látványos” a hatás, bár az amplitúdó itt is csökken. Sajnos a térkép hasonlít a ciklikus amplitúdómoduláció esetén kapotthoz (lsd. 20-22. ábra), ezért nagyon körültekintően kell értelmezni.

17-19. Szezonális űrök gyakran fordulnak elő a csak időszakosan észlelhető csillagok fénygörbéiben, ezeket csak jól szervezett, hosszú ideig tartó észleléskampánnyal lehet megszüntetni. Mindkét térképen megfigyelhető, hogy a periodikusan ismétlődő űrök hamis csúcsokat okoznak, ám a CWD-nél a nagyfrekvenciás részen csak igen nagy űröknél jelenik meg a hamis csúcs határozottan, míg a wavelet már előbb fodrozódni kezd.

20-25. A ciklikus amplitúdómoduláció a waveleten jobban követhető, mint a CWD-n, különösen akkor, amikor az adatsor végein csökken a jel amplitúdója. Amikor itt növekszik a jel (23-25. ábra), a CWD-n is jellegzetes képet mutat.

A 22. ábrának megfelelő adatsoron kiszámoltam a CWD-t más paraméterekkel is. s-át növelve a felbontás ugyan javulhat, viszont M-mel óvatosan kell bánni, kis M-re ui. a térképen már nem tükröződik az amplitúdómoduláció.

26-28. A szinuszos fázismoduláció kimutatásában a wavelet egyértelműen jobb, a CWD itt ha enyhén is, de felhasad, mint a Fourier spektrum, más hatás pedig nem is mutatkozik. Itt is számoltam CWD-t más paraméterekkel (s:3-6, M:64-128), leellenőrizendő, hogy a felhasadást nem a túlzottan széles ablak okozza-e. Sajnos, bár a wavelet-térképen láthatóhoz hasonló hatás most jelentkezett a CWD-n is, ám jóval torzultabban, s a lefutó gerinc így is hasadozott.

29-37. A fázisugrást hagyományos módszerekkel nehéz kimutatni. A CWD-n is felhasad a csúcs a fázisugrás mértékétől függően, esetenként teljesen megtévesztő képet is ad (pl. 33. ábra nagyon hasonlít a kétmódusú oszcilláció esetére (47. ábra)). Ha csökkentjük az ablak szélességet (M-et), a felhasadás megszűnik, megjelenik a wavelet-térképen megfigyelhető véggerinc a nagyfrekvenciás részen. Érdekesség, hogy a kisfrekvenciás területen is megjelenik egy jóval kisebb, lefutó, kettős gerinc, ha F 0.1 és 0.5 között van; 0.5-0.9-ig a két gerinc helyet cserél. M-et csökkentve s-t növelni kell, ha elfogadható szélességű csúcsot akarunk kapni, ekkor viszont hamis csúcsok jelenhetnek meg. Monoperiodikus jelnél ez nem jelentős, viszont egy két komponensből álló jel esetén, ahol az adatsor közepén még fázisugrás is van, már nem különíthető el a két hatás a térképen (a 45. ábra adatsorát módosítottam úgy, hogy az adatsor közepén F=0.5 nagyságú fázisugrás történik). A wavelet-térképen ezzel szemben megjelenik mindkét periódusnak megfelelő csúcs, és a fázisugrásra jellemző lefutó gerinc is. Az a paramétert csökkentve (ami általában 1/2), a wavelet felbontása is javítható. Ennél a jelenségnél tehát egyértelműen kedvezőbb a wavelet-térkép.

38-40. A folyamatos periódusváltozás (itt növekedés) jól nyomon követhető mindkét térképen, ám ahogy az effektus nő, úgy „igyekszik” a CWD felhasadni, bár itt is csökkenthető a hatás M kisebbre választásával.

41-49. A kétmódusú oszcilláció esetében viszont a CWD kedvezőbb képet ad, bizonyos körülmények között. Azt már láttuk korábban, hogy ha a két periódus bizonyos arányban van egymással, az a csúcsok tarajosodását okozza, de ez némileg tapasztalható a wavelet térképen is. A frekvencia felbontásban viszont a CWD jobbnak tűnik a waveletnél, ám a teljesség kedvéért hozzá kell tennünk, hogy a wavelet a paraméterét csökkentve a felbontás nő. Bár ekkor a gerinc a waveletnél is íveltebbé válik, ez nem nagy hátrány a CWD-vel szemben, mert a CWD ilyen rövid adatsorra nem ad egyenes gerincet. A 47.ábra esetén a-t jelentősen lecsökkentve (0.5®0.0625) a wavelet is feloldja a két csúcsot, azonban ekkor a lebegés már egyátalán nem követhető a gerinc vonalvezetésén.

50-55. Módusváltás kimutatására egyformán alkalmas mindkét eljárás, ami a CWD mellett szól, az a csúcsok kisebb félszélessége.