4. A KISBOLYGÓK FOTOMETRIÁJA

4.1. Néhány elméleti megfontolás

A kisbolygók fénygörbéje általában közelítőleg szinuszos változást ír le, melynek periódusa rövid megfigyelési szakaszon állandónak tekinthető. Tüzetesebb vizsgálatok csaknem minden esetben kimutatták, hogy az egymást követő fényváltozások lefutása kis mértékben különböző, míg minden második lefutás teljesen azonos. Ebből következik, hogy a fénygörbe két maximuma közt eltelt időnek pontosan kétszerese a kisbolygó forgási periódusa. A kettős maximumot azzal magyarázzák, hogy a kisbolygó fényességváltozása gyakorlatilag az alak forgásából adódik; mivel 180 fokos elfordulásra a fényességváltozás nagyjából szimmetrikus, így egy tengelyforgás alatt két maximum követi egymást.
   Mivel a fényváltozás alakja igen egyszerű, a fénygörbék alakját jól lehet jellemezni két számmal; az egyik az amplitúdó, amit a mélyebb minimum és a fényesebb maximum között mérünk; a másik az eltérés, ami a másik
két szélsőérték közti különbség és az amplitúdó eltérése. A gyakorlatban a második paraméter csak igen ritkán használatos, a fényváltozást a periódussal és az amplitúdóval jellemezzük.
   Hosszabb távon mindkét jellemző mennyiség változik. A periódus csak kisebb mértékben; ennek oka az, hogy a földi megfigyelő nem az állandó sziderikus forgást detektálja, hanem a szinodikus ("geocentrikus") forgást.
   A fényváltozás amplitúdója igen változatos, akár az egy nagyságrendet is eléri. Zappala et al. (1983) és Zappala et al. (1984) mutatott rá arra, hogy a fénygörbék alakjának változása az aspect változásával függ össze. (Aspect alatt azt a szöget értjük, amelyet a kisbolygó geocentrikus helyvektora és szögsebességvektora bezár; gyakorlatilag azt, hogy milyen (irányított) szög alatt látszik a kisbolygó forgástengelye.) Ha az aspect minimális (tehát a kisbolygó tengelye a Föld felé mutat), akkor az amplitúdó is minimális. (Ezt a helyzetet nevezzük sub-zero-phase-angle-bisector-point-nak, a zero-phase-angle-bisector-point-ban ZPABP a forgástengely pontosan ezzel ellenkező irányú, tehát a Földtől elfelé mutat.) Az aspect minden tengelyirány esetén lehet 90 fokos; ekkor a kisbolygó fényváltozása maximális (l. 7. ábra).

7. ábra. Összefüggés az amplitúdó és az aspect között az 532 Herculina esetében

Nem ejtettünk még szót a pólus koordinátáinak jellemzéséről. Ez is az aspect segítségével történik; a pólus hosszúságát () a ZPABP ekliptikai hosszúságával definiáljuk, míg a pólus szélessége () a minimális aspect nagysága (gyakorlatilag azt írja le, hogy hány fokkal hajlik a forgástengely az ekliptikához).

4.2. Modellezés a fénygörbék alapján

Az alak és a forgás modelljét 1993 óta általában egyszerre szokták kiszámítani. A 4.3. pontban rámutatunk ennek hátrányaira, és bemutatunk egy általunk kifejlesztett módszert arra, hogy hogyan lehet a forgás fizikáját és a pólus helyzetét alaktól függetlenül meghatározni. Így most csak a korábbi módszerek vázlatos ismertetésével foglal-
kozunk (részletes ismertetésük megtalálható pl. Gehrels 1967, Magnusson 1986, Surdej 1986, Micha owski 1993 és Detal et al.1994 cikkeiben). Ezek közül a legkézenfekvőbb, hogy véletlenszerűen definiált ellipszoid-
modellek fénygörbéit illesztik a megfigyelésekre, így az alak és a pólus helyzete kielégítő pontossággal modellez-
hető. Más esetben az alak sem ellipszoid, hanem valami véletlen előállítású felület. Régebben foltos gömb modellek leírásával is foglalkoztak, de ez pontatlansága miatt nem terjedt el széles körben.
   Magnusson (1986) kimutatja, hogy a pólus hosszúsága kb. ±10 fok bizonytalansággal megadható az aspect-amplitúdó összefüggések alapján. Ezek a következő alakúak:
 

 

 

ahol b/c és b/a a kisbolygó alakjának elnyúltságára utalnak; az a,b,c kiterjedéseket a modellként alkalmazott háromtengelyű ellipszoidok tengelyével szokták definiálni, a>b>c értelemben
   Ezen eljárás ("AM-módszer") hátránya, hogy az amplitúdó alakfüggése csak hosszas megfigyeléssorozattal küszöbölhető ki, de a pólus szélességére még akkor sem várhatunk pontos adatot.
  Michalowski (1993) összevonja a forgás és az alak meghatározását úgy, hogy a különböző fénygörbéket korreláltatja egymással. Ez valóban nagy pontosságú periódusmeghatározást tesz lehetővé, és jól megadja a pólus koordinátáit is; ellenben valójában négy, majdnem egyforma valószínűségű modellt definiál, mert a forgásirány meghatározása is bizonytalan, és  sem egyértelmű. Pontossága miatt azonban ez a módszer ma már általánosan elfogadott.
   A kisbolygók modelljeit a bevezetésben már említett módon adjuk meg. A sziderikus periódust napokban szokás mérni, míg a forgástengely ekliptikai koordinátáit fokokban. A háromtengelyű ellipszoid modelljét az a/b, ill. b/c tengelyarányokkal jellemezhetjük. A modell leírásához tartozik még a forgás irányának megadása, azaz hogy a forgás a keringéssel egyező, vagy ellenkező irányban történik-e. Erre a P (prográd) és R (retrográd)
betűk utalnak .

4.3. Egy új módszer a forgásvektor meghatározására

Megvizsgálva az előző modellezési eljárások által adott eredményeket, arra a megállapításra kellett jutnunk, hogy a kapott eredmények ellentmondásait nem megalapozott közelítések okozzák. Ezeket a következőkben foglaljuk össze.
   Egyrészt a szinodikus periódus meghatározásához használt formulában szerepel két nem meghatározott mennyiség, amelynek értékére mindössze ésszerű becslések adnak közelítést. Másrészt föltételezik, hogy a fényességmaximumhoz tartozó aszteroida-felület, és így forgási fázis, nem változik a keringés alatt. Ez az utóbbi közelítés igaz ugyan a modellként használt nem foltos ellipszoid esetében, de korántsem elhanyagolható egy kisbolygó esetében. Ráadásul 1993 óta a forgás fizikáját együtt állapítják meg az alakkal, és így az alakmeghatározásban rejlő hibák szintén kiütköznek a forgási paraméterekben. Következésképpen valójában 4 lehetséges kisbolygómodell születik, amelyek egyrészt a forgásirányban (P vagy R),másrészt a pólus hosszúságában különböznek (egymáshoz képest az eltérés kb. 180 fok).
   Szem előtt tartva az eddigi módszerek hátrányait és előnyeit, kidolgoztunk egy olyan egyszerű modellezési eljárást, amely az eddigieknél pontosabban adja meg a sziderikus periódust, valamint egyértelműen meghatározza a forgásirányt. A pólus koordinátáinak meghatározása is lehetséges, ennek pontossága megegyező az előző módszerekével. Hibaanalízisünk során meghatároztuk, hogy mekkora mértékben eltorzuló fénygörbék analízise ad megbízható eredményeket. Arra a következtetésre jutottunk, hogy a kisbolygók nagy hányadánál alkalmazható a módszer modellezésre. Sajnos önmagában ez az eljárás sem ad egyértelmű értéket a pólus szélességére, ehhez komplexebb vizsgálat szükséges.
   Az eljárás a kisbolygók fényességmaximumának megfigyelésén és ennek földolgozásán alapul. A
monoperiodikus, vagy ahhoz közeli viselkedésű változócsillagok kutatásában széles körben használatosak az O-C diagramok ('obszervált mínusz kalkulált', l. pl. Szatmáry 1987), amelyek egy esemény megfigyelt és számított időpontjának különbségét prezentálják. (Ilyen esemény lehet például egy pulzáló csillag maximumának bekövetkezése; ennek kismértékű periódikus eltolódásaiból pedig például kísérő komponensre lehet következtetni.) Az O-C definíciója:

 

ahol t_n az n-edik maximumidőpont ideje, t₀ egy kezdő maximumidőpont ('epocha'), P a periódus, n pedig a ciklusszám.
   Ezt a formulát a következőképpen értelmezhetjük kisbolygókra:
   A kisbolygók forgási periódusa alatt általában két maximumot figyelhetünk meg a fénygörbén, amik a különböző oppozíciók alkalmával más-más karakterisztikát öltve, gyakorlatilag azonosíthatatlanok. Azonban pont a szimmetria miatt, azt mondhatjuk, hogy a maximumok bekövetkezésének periódusa /2, vagyis a sziderikus periódus fele, így ezzel a periódussal vesszük föl az O-C értékeit. Azonban a kapott értékeket nincs sok értelme időben ábrázolni, hiszen a kisbolygó keringésére az idő nem jellemző paraméter. A keringést vagy az aspect, vagy a geocentrikus koordináták változásával prezentálhatjuk. Esetünkben a geocentrikus koordináták figyelembe vétele volt a kitűzött cél, így az O-C elméleti értékeit is e koordináták függvényeként állapítottuk meg. Ekkor újabb szimmetriák miatt a 180-360 fokos ekliptikai hosszúságot vissza kell transzformálni a 0-180 félkeringésbe, úgy, hogy az ekliptikai hosszúságoknak csak a 180 fokos osztási maradékát vesszük figyelembe. Alább taglalandó tézis szerint egy keringés egy szinodikus fordulatot jelent, ami látszólag hozzáadódik (prográd forgásnál kivonódik) a sziderikus forgáshoz. Fél forgásra redukálva a periódust, az O-C pontok 1 értékű változása már fél forgás alatt bekövetkezik, ezért kétértelműségek lépnének föl a teljes keringés vizsgálata esetén. Ezért az
O-C(, l) összefüggés helyett az O-C(/2, l mod 180) függvényt keressük. Az előbb taglaltak alapján azonban e két kifejezés formailag ekvivalens.
   A fő stratégia ehhez a következő: megforgatunk egy vektort (analógia: a kisbolygó) egy adott tengely (analógia: forgástengely) körül, és meghatározzuk, hogy különböző irányokra (geocentrikus pozíció) mikor maximális a forgó vektor vetülete (azaz mikor mutat fényességmaximumot a kisbolygó). Ezt a helyzetet azzal a szöggel jellemezzük, amit a forgó vektor az adott pozícióban egy fixált referenciavektorral bezár. Ez a szög közvetlenül megadja az
O-C értékét.
 
Tekintsük az alábbi két vektort:

                          b (cos, 0, sin)                             (4)
 
                          r (cosl, sinl, 0),                               (5)

ahol b a forgástengely, r a megfigyelő irányába mutató egységvektor,  a pólus ekliptikai szélessége, míg l az aktuális r és az (1,0,0) ('sub-ZPABP') vektor közötti szög. Ez utóbbi, meglehetősen bonyolult nevű vektor lényegében csak a koordinátarendszert határozza meg azon feltétellel, hogy ezen rendszer X koordinátatengelye irányából látunk minimális szög alatt a forgásvektorra.
   Vezessük még be a vn normálvektort is, ami a kisbolygó fényességmaximumot adó helyzetét jellemzi, amelynek a legnagyobb fényesség állapotában merőlegesnek kell lenni b-re és r-re egyaránt, azaz koordinátái az alkalmazott vonatkoztatási rendszerben:
              .
 
 
Jelölje V azt a fix vektort, amelyhez a forgást fogjuk viszonyítani. V egy tetszőleges, b-re merőleges vektor lehetne, legyen most a következő alakú:

V (sin, 0, -cos)                            (7)

Most meghatározzuk azt a F szöget, amellyel el kell forgatni az V vektort a b körül ahhoz, hogy párhuzamos legyen a n_n vektorral, azaz a megfigyelő fényességmaximumot lásson. Ennek feltétele, hogy

 

amelyből következik, hogy

              
 
Ismerve a F szög fokban kifejezett értékét, már az O-C diagram pontjainak l-függése is meghatározható:

 

Az egyszerűség kedvéért azonban praktikusabbnak látszik a továbbiakban egy O-C'-vel jelölt értékkel számolni, amelynek alakja:

 

Miután az O-C' vizsgálatából meghatározható a kisbolygó tengelyének helyzete, egy olyan módszerhez jutottunk, amely ezt csak az ekliptikai koordinátáktól függően adja meg.
   A 8. ábrán "elméleti" O-C' diagramokat mutatunk be különböző forgástengely-irányok esetében. Ezen diagramok egybevetéséből a következőket állíthatjuk.

8. ábra. Elméleti O-C' diagramok hat forgástengely-irány esetén

Az O-C' diagramok kezdő- és végértékének különbsége mindig 1 (+1 prográd, -1 retrográd esetben), ahogy ezt a forgás és keringés együttes elképzelése is alátámasztja. Prográd forgásnál ugyanis egy keringés alatt pont egy sziderikus fordulattal látunk kevesebb szinodikus tengelyforgást, és így az O-C' diagram érthetően egyre nagyobb értékeket vesz föl. Retrográd forgásnál hasonlóan jutunk az egyre korábbi O-C' mind korábbi, azaz egyre kisebb
értékeihez.
   Másik fontos megállapítás, hogy az elméleti O-C' diagram nagy  értékekre közel lineáris. Alacsonyabb tengelyállásoknál pedig egyre inkább eltorzul az alakja; a pólus koordinátáit jól jellemzi ez a megváltozott lefutás.
   A későbbiekben ily módon tudjuk majd meghatározni a forgástengely helyzetét és a forgási periódust. Gyakorlati megfigyelések esetében az O-C' pontok tapasztalat szerint csak egyetlen (monoton növekedő, vagy monoton csökkenő) esetben közelítik meg a lineáris föltételezést: akkor, amikor a pontok meghatározásakor használt periódusérték a valódi sziderikus periódussal megegyezik. Minden más esetben a diagram pontjai egyszerű szórást mutatnak.
   Azonban a valós O-C' diagram még függhet a kisbolygó alakjától. Hogy ezt megszüntessük, meghatározhatjuk az elméleti diagram deriváltját, valamint a megfigyelt pontokból számolható meredekséget. Ezzel a módszerrel az összefüggés közel független a kisbolygó alakjától is, hiszen így már csak az a föltételezés áll, hogy két szomszédos O-C' pont között nem változik a fényességmaximum sziderikus forgási fázisa.
   A (9)-es differenciálásával kapjuk, hogy
                                            ,
 

ahol 0 végigfut a megfigyelési pontok ekliptikai hosszúság-értékein. Ezzel a deriválással megszüntettük az O-C diagram értelmének epochafüggését is. (A levezetésben a V vektor szimbolizálta ezt a referenciaállapotot. Ez a vektor konstansként hozzáadódik a F szög értékeihez, de a differenciálásnál kiesik.)

1. Numerikus módszerrel meghatározzuk azt a periódust, amelyre az O-C' - l diagram ±1/180 meredekségű lineáris illeszkedése a legjobb. Első közelítésben ezt a periódust fogadjuk el sziderikus periódusnak. (Ez a periódus már legalább 10^-6 napra pontos.)

2. Az így előállított grafikon lefutásából azonnal adódik a forgás iránya.

3.  változtatásával és a (12) összefüggés alkalmazásával minimalizáljuk a számított  értékek szórását. A legjobb illeszkedésből adódik  értéke.

4. Az O-C' előállításakor használt periódus kis mértékű változtatásával is minimalizáljuk  szórását. Az így kapott periódust fogadjuk el végső sziderikus periódusnak, míg a kapott  értéket a pólus második koordinátájának. Előjele a 2. lépés során már adódott.

5. A 3. és 4. lépések iteratív ismétlése addig, amíg az adódó új póluskoordináták különbsége a régiektől egy küszöbérték (5^o) alá nem csökken. Így végeredényben meghatároztuk a forgásvektort.

4.4. A módszer tesztelése

A módszert számítógépes modellkísérletekkel és tesztobjektumok alapján is teszteltük. Számítógépes analízisünk fő célja az volt, hogy bebizonyítsuk: akorábbi tapasztalatokkal ellentétben az epocha-alapú módszerek is ugyanolyan jól megadják a pólus hosszúságát, mint az amplitúdó-alapúak. Ezért a következő algoritmust hajtottuk végre:

1. Definiáltunk egy forgástengelyt véletlen  és adott  paraméterekkel. Hat véletlenül megválasztott égi helyzetben kiszámítottuk az O-C' értékét a (9) alapján.
2. s szórású, Gauss eloszlású zajjal (analógia: a maximumidőpontok meghatározásának előre definiált hibáival) terheltük az 1. pont által adott O-C' adatokat.
3. Ezekből a "megfigyelésekből" újraszámoltuk a pólus helyzetét. Ezt összehasonlítottuk az ismert, eredeti helyzettel.
4. Az 1-3. pontokat százszor megismételtük, azonos s értékkel számolva. A modellezési szériát akkor minősítettük jónak, ha 100 esetből legalább 67 alkalommal a pólus hosszúsága 5 (10) fokon belüli egyezésben volt a "valósággal".
5. A s értéket szisztematikusan növelve megismételtük az 1-4. pontokat. Az adott  szélességhez megengedhető maximális extrémum-meghatározási hibának azt a legnagyobb s értéket minősítettük, amely még jó modellezési sorozatot szolgáltatott.
6. A  értékét is változtatva, ily módon tudtuk meghatározni az adott szélességű tengely esetére a megengedhető bizonytalanságokat, ami az extrémumok meghatározását illeti.

Az így kapott hibák, amint azt a 9. ábra mutatja, 2-5% körüliek. Az is jól látszik, hogy az alacsonyan inklinált tengelyek esetében ugrásszerűen nő az egyedi pontok megengedhető hibája, azaz, a módszer pontos alkalmazhatósága.

9. ábra. Az O-C' pontok maximálisan megengedhető hibái a ±5°, ill. ±10° pontosságú pólushosszúság meghatározáshoz, különböző pólusszélességek mellett.

A fentebb említett 2-5% bizonytalansági paraméter maximálja a két minimumhely közötti forgási fázisbeli eltérést. Vezessük be ugyanis a fénygörbére jellemző minimum deviancia fogalmát, amely a két minimum közötti forgási fázis 0,5-től való eltérése. (Ideális esetben, pl. szabályos ellipszoid fénygörbéjére, ez 0.) Ezzel a paraméterrel megfogalmazva azt mondhatjuk, hogy az O-C eljárás akkor alkalmazható, ha a fénygörbék minimum devianciája 0,02-0,05 alatt van. Az eddig ismert 400 fénygörbe nagy hányadára jellemző, hogy eleget tesznek ennek a megszorításnak. Kivételek persze minden szabály alól vannak; saját megfigyeléseink között is tudunk olyan példát mutatni (852 Wladilena), amelyre a fönt adott kritérium nem teljesül.
   Így tehát megmutattuk, hogy módszerünkkel az 5-10 fokos pólus-hosszúsági bizonytalanság elérése sem reménytelen. (4-6 perces pontosságú extrémum-meghatározás mellett.) Ez a tény a tesztobjektumok illesztésekor is meggyőzően bizonyosodott.
   A módszer hatékonyságának szemléltetésére bemutatjuk a 201 Penelope részletes analízisét. A 10. ábrán láthatjuk a - paramétertérben a hibafüggvény felület-térképét. (A vízszintes tengely ábrázolja a pólus szabadon változó hosszúságát, a függőleges tengely a szélességét, míg a színezés az illesztés szórásnégyzetére jellemző.) Jól látható, hogy csak egy megoldás adódik a pólusra, és hogy ez a minimum a paramétertérben igen jól definiált. A pontosság szemléltetésére bemutatjuk ennek a három dimenziós grafikonnak a keresztmetszeteit is,  és  irányban. Ezek a grafikonok jól szemléltetik, hogy a pólus koordinátái viszonylag elfogadható hibával (±5-10 fok) megbízhatóan számíthatóak az új módszer alapján.
 

10. ábra. A 201 Penelope szórásnégyzet-térképe

Tesztobjektumaink kiválasztásakor a kritérium az volt, hogy egymással jól egyező modellek szerepeljenek a szakirodalomban.

11. ábra. A 10. ábra globális minimumán keresztülhaladó metszetek.

   A 4. táblázatban közöljük a teszt eredményét. Az oszlopok sorrendben a forgási periódusokat (napban kifejezve), a pólus két koordinátáját, a forgás irányát (P: prográd, R: retrográd), ill. a megfelelő referenciát tüntetik fel. Mivel az előző eljárások eredménye nem meghatározott módon többértelmű, így érthető, ha ugyanabban a dolgozatban több lehetséges modellt is közölnek a szerzők. Az általunk kifejlesztett módszer csak a pólus hosszúságában meghatározatlan, így mi a lehetséges két tengelyhelyzet első koordinátáját összevont formában közöljük. A fölhasznált fénygörbék az Asteroid Photometric Catalogue (Lagerkvist et al. 1997) adatsorából származnak; az egyedi fénygörbék referenciáit az irodalomjegyzékben soroljuk föl.
   Az alábbiakban részletesen összevetjük eredményeinket a korábbiakkal.

20 Massalia
A forgási periódust 0.0000004 nap pontossággal sikerült meghatároznunk. A póluskoordináták jó egyezést mutatnak McCheyne et al. (1985), Magnusson (1986) és Dotto et al. (1995) eredményeivel, míg a pólus szélessége jelentősen eltérő, különös tekintettel a két utóbbi dolgozatra. A forgás iránya minden előző meghatározással egyetértésben prográdnak bizonyult.

21 Lutetia
Négy oppozíció adatsora áll rendelkezésünkre. A forgási periódust először Lupishko & Velichko (1987) határozta meg, míg Lupishko et al. (1987) csak alakmodellt közöl. Mind az említett munka, mind Micha owski (1993) két lehetséges koordináta-párt határozott meg a pólusra. Később De Angelis (1995) és Michalowski (1996) erősen eltérő periódust kapott. Számításaink eredménye jó összhangban  van az előző eredményekkel. Az 1996-ban publikált forgási periódust nem erősíthetjük meg.

43 Ariadne
Detal et al. (1994) közöltek átfogó tanulmányt erről az aszteroidáról, akik a kérdéses dolgozatban négy különböző modellező eljárást hasonlítottak össze. Az általunk meghatározott forgásvektor igen jó egyezésben van ezekkel az adatokkal.

79 Eurynome
Az általunk számított forgási periódus és a póluskoordináták jól egyeznek az előző publikációk értékeivel, azonban a korábbi modellekkel szemben retrográd forgást határoztunk meg.

201 Penelope
A forgási periódus ennél a kisbolygónál adódott a legpontosabban (0.1561441 ±0.0000003 nap). Az általunk meghatározott modell minden paraméterét tekintve egyezik az előzőekkel.

532 Herculina
Ennek a kisbolygónak igen érdekes a fényváltozása (l. 6. ábra). Míg sokszor két maximum figyelhető meg egy forgás alatt, bizonyos helyzetekben a fénygörbe csak egyetlen maximumot mutat. Micha owski (1996) egy olyan háromtengelyű ellipszoid modellel írta le ezt a jelenséget, melynek kistengelye és forgástengelye nem esik egybe, hanem 7 fokkal hajlanak egymáshoz. Miután az általunk bemutatott eljárás gyakorlatilag független a kisbolygó alakjától, így egyszerűbb modellünk is jó egyezésben van Micha owski (1993) és Micha owski (1995) eredményeivel.

642 Hector
Az előző modellek szintén Detal et al. (1994) dolgozatából származnak. A forgásvektor teljes leírása lényegében megegyezik saját eredményeinkkel.

   Összességében elmondhatjuk, hogy az általunk használt eljárás teljes mértékben összevethető az előző számítások végeredményével. A forgási periódust minden eddiginél pontosabban tudtuk meghatározni. A forgásirány (P vagy R) meghatározása az eljárás természetéből adódóan gyakorlatilag egyértelmű, míg ez korántsem mondható el az előző számításokról (l. 79 Eurynome, 532 Herculina). Másik előnye az eljárásnak, hogy csak egy értéket szolgáltat a pólus szélességére, így az erősen különböző szélességekkel jellemzett korábbi modellpárok közül csak egyet támogat. A fő hátrány az, hogy a pólus hosszúságának meghatározása még mindig nem teljesen egyértelmű. Ez a módszer két lehetséges hosszúságát adja meg a forgástengelynek; ezek pontosan 180 -ban különböznek egymástól.

 4.5. Megfigyelési eredményeinkből

Az elmúlt két évben összesen 20 kisbolygó fotometriáját végeztük. Ennek keretében 29 éjszakán 2 műszeregyüttessel 2371 pontot tudtunk fölvenni. A mérések részletezése a 5. táblázatban található.
   Az objektumválasztás szempontjait a használt műszerek jellege erősen meghatározta. Az 500-as sorszámnál kisebb, általában fényes és többé-kevésbé észlelt kisbolygók kutatását Szegedről végeztük, míg az 500-nál nagyobb sorszámot viselő aszteroidákat Piszkéstetőről mértük. Különösen a szegedi programnak volt célkitűzése az, hogy a megfigyelt kisbolygóknak ne legyen előző modellje, de a mi méréseink alapján már modellt is közölhessünk. Ezzel a műszerrel végeztük el az 52, a 73 és a 316 kisbolygók fotometriáját.
   Az alábbiakban bemutatjuk a mérései eredményeket egyedi objektumokra lebontva.

52 Europa
Ezt a kisbolygót P. Denchev bolgár csillagásszal ugyanazon az éjszakán mértük a véletlennek köszönhetően. A két fénygörbe (12. ábra) láthatóan teljesen együtt halad, ami mutatja, hogy a JATE Béke-épületének tetejéről végzett mérések teljesen megállják helyüket nemzetközi összevetésben is. Ezen mérések alapján a kisbolygó előző, meglehetősen bizonytalan modellje nagy mértékben pontosítható.

   12. ábra. Az 52 Europa kompozit fénygörbéje        

73 Klytia
Jelenlegi adatsorunk nem elég a háromtengelyű ellipszoid modelljéhez. Egy hozzávetőleges modellt táblázatunkban adunk meg. A 13. ábrán látható kompozit fénygörbe a négy éjszaka adatait együtt ábrázolja.

13. ábra. A 73 Klytia kompozit fénygörbéje. Jelek: o - 97.02.20.,+ 97.02.22., ¤ - 97.02.23., ´ - 97.03.02.

288 Glauke
Piszkéstetői méréseink alapján 5 óra alatt fényváltozása nem haladta meg a  fénygörbe szórását (±0.01 magn.).

316 Geometria
Szegedi méréseink alapján 1997-es oppozíciójában minden eddiginél kisebb, 0,08 magnitúdós volt az amplitúdója.

409 Aspasia
A 168±8 km-es kisbolygó fotometriáját B,V,R,I szűrőkön keresztül végeztük, tíz éjszakán 597 pontot fölvéve. Az adatok földolgozása jelenleg folyamatban van; eddigi eredményeinket a következőekben foglalhatjuk össze:
   A szinodikus periódus 9,21±0,04 óra, míg az amplitúdó 0,12 és 0,30 magnitúdó között változik. A 14. ábrán egy jellegzetes fénygörbét mutatunk be, míg a 15. ábrán a színindex változásait tüntetjük föl.

14. ábra. Az Aspasia fénygörbéje 1998 szeptember 24-én, R és I szűrőkkel   15. ábra. A 409 Aspasia I-R színindexe. Kompozit diagram (98.09.21. és 24.)

A fénygörbe legfontosabb jellemzői (amplitúdó, alak, minimumok mélysége, általában a lefutása) éjszakáról éjszakára jelentős változásokat mutatnak. Emiatt az egyéb paramétereknél relatíve pontosabban mérhető amplitúdó modulációin keresztül vizsgáltuk a kisbolygót. Eredményeink szerint az amplitúdó periodikusan ingadozik, mégpedig 1,706±0,002 napos ciklushosszal (16. ábra). Mivel az amplitúdó (egy adott kisbolygóra) eddig ellenpélda nélkül csak az aspecttel függ össze (l. AM módszerek), ezért arra kell következtetnünk, hogy az amplitúdó periodikus változását az aspect periodikus változása okozza. Ennek legvalószínűbb magyarázata a precesszió föltételezése.

16. ábra. Az amplitúdó változásának fázisdiagramja

A viszonylag kicsi amplitúdók (<0,3^m) alapján az alak nem nagyon tér el a gömbtől, egy "átlagos" alakmodell egy 1,3±0,1:1,1±0,07:1 tengelyarányú ellipszoiddal adható meg.
   A precesszió nem adódhat egy hold gravitációs forgatónyomatékából. Ekkor ui. a kísérő m tömege, a pálya a fél nagytengelye, i inklinációja, valamint az W és w szögsebességű precesszió és  tengelyforgás között fönnáll (Binzel, 1985):

 

(G a gravitációs állandó). A (13)-ban szereplő g állandó az alábbi módon adódik a Q_i (i=1, 2, 3) fő tehetetlenségi nyomatékokból:

 

ahol Q₃ > Q₂ > Q₁.
(13) alapján kiszámítva a kísér_ minimális tömegét (0 inklinációjú pályán, a fél nagytengely az Aspasia átlagos sugara) is legalább 1000 km nagyságrendű kísérőt kell föltételeznünk ahhoz, hogy ilyen precessziót hozzon létre. Ez nyilvánvalóan lehetetlenség; ezért az aspect változását a szabad precessziónak kell tulajdonítanunk. Ennek periódusára az ismert képlet (Landau & Lifsic 1988) alapján,
 
 
1,3:1,13:1 tengelyarányú ellipszoidra, 9,2 órás forgási sebességre 1,77 nap adódik. Ez az érték jó összhangban van a megfigyelésekkel, így joggal föltételezhető e jelenség megfigyelése.
   Általánosan elfogadott nézet, hogy a szabad precesszió a kisbolygók világában akkor jön létre, mikor két aszteroida ütközésekor az impulzusmomentum vektora kibillen a fő tehetetlenségi tengelyből. A föltételezett ütközés energiáját a következőképpen becsültük:
   A tehetetlenségi nyomatékot adott sűrűségű, 170 km sugarú gömbre számítottuk. Az ütközés energiáját alulról becsüljük, ha a jelenlegi összes impulzusmomentumhoz tartozó energiából kivonjuk a forgás energiáját. (A precessziós tengely és a forgástengely által bezárt szöget 25 fokosnak becsültük a fénygörbék alapján.) Végeredményképpen az ütközési energiára 6,1±1,5 10² J/kg értéket kaptunk, amit a jelenleg elfogadott elméletek szerint egy 168 km átmérőjű kisbolygónak még biztosan ki kell bírnia törés nélkül. Ugyanakkor nyilvánvalóan alábecsültük a becsapódást, hiszen a forgásvektort, a pályaelemeket, a mechanikai, ill. a kémiai jellemzőket megváltoztató energiát nem vettük figyelembe.
   Az általunk becsült ütközési energia szerint egy, az Aspasiaval azonos sűrűségű, 50 km átmérőjű test 0,21 km/s-os, 30 km átmérőjű 0,46 km/s-os ütközési sebesség mellett képes ekkora energiát közölni, ha tökéletesen rugalmas az ütközés. A rugalmatlan ütközés esetében, beleszámítva az egyéb energiaveszteségeket, a 0,7±1,5 km/s-os ütközési sebességek reálisak, 30-50 km átmérőjű ütköző testekre.
   A többszín-fotometriai megfigyeléseken jól látható a színindex változása is. (15. ábra). Elkékülést tapasztalhatunk egy adott forgási fázisnál, ami idegen anyag (=eltérő színű folt) jelenlétére utal a felszínen. Zappala et al. (1985) már megemlítette korábban ezt a lehetőséget a megfigyelt fénygörbe-változások egyik lehetséges okaként, azonban részletes többszín-fotometria azóta sem készült. Az ütközés összetapadás koncepciójának természetes következménye az albedójában különböző régió a kisbolygó felületén, tehát két oldalról is konzisztens képet kaphatnuk a 409 Aspasia fentebb részletezett modelljével. A minimum előtti elhalványulás egyes éjszakákon igen gyorsnak bizonyult; de ezt a jelenséget már korábbi mérések alkalmával is megfigyelték.

683 Lanzia
Előző fotometriai adatsorai az 1979, 1982, 1983-1984, 1987-es oppozíciókból származnak (Carlsson & Lagerkvist 1981, Weidenschilling et al. 1990). 1998 december 12-16. között 4,61 órás periódussal 0,125 magnitúdós fényváltozást figyeltünk meg. A kompozit diagramot a 17. ábrán mutatjuk be.

17. ábra. A 683 Lanzia kompozit fázisdiagramja. Alkalmazott jelek: telt négyzet - 98.12.14., üres kör - 98.12.16.   Modellezését AM-módszerrel végeztük, így 115:105:100 tengelyarányokkal jellemzett ellipszoidot határoztunk meg, 19/199±20 fokos hosszúságú, 78±10 fokos szélességű forgástengellyel. Az illesztett amplitúdó-változást a 18. ábrán közöljük. 18. ábra. A 683 hosszúság-amplitúdó függése az illesztett görbével

792 Metcalfia
A fényváltozás alapvető paramétereit először Carlsson & Lagerkvist (1981) határozta meg 1979-ben. Ekkor 9,22 órás periódusú és 0,64 magnitúdós amplitúdójú fényváltozást detektáltak. Saját méréseink (9,19±0.01 óra, 0,76±0,02 magnitúdó) ezzel jó összhangban vannak; a nagyobb amplitúdó geometriai okokra vezethető vissza. A fénygörbe alakja meglehetősen szokatlan, mivel a minimumok élesek és igen rövid ideig tartanak. Az eddigi két mérési sorozatnak köszönhetően ez a kisbolygó a következő oppozíció után már modellezhető lesz. A 19. ábrán bemutatott kompozit diagramunk nullfázisa JD 2451110,2050.

19. ábra. A 792 Metcalfia fázisdiagramja. Jelek: üres négyzet - 98.10.22., pontozott kör - 98.10.23., telt kör - 98.10.26.

852 Wladilena
Három előző fotometriája ismeretes az 1977, 1982, 1993-as évekből. (Tedesco 1979, Di Martino & Cacciatori 1984, De Angelis & Mottola 1995.) 6,42 órás forgása alatt 0,32 magnitúdós fényváltozást mutattunk ki, amely alig különbözik az előző fotometriák eredményétől (20. ábra).

20. ábra. A 852 Wladilena fázisdiagramja. Jelek: telt kör - 98.12.12., pontozott kör - 98.12.14., telt négyzet - 98.12.16.

Az előző mérésekhez tartozó hosszúságok szerencsétlen eloszlása miatt AM-modellezés nem végezhető. Azt azonban meg lehet állapítani, hogy a pólus a 170/350 fokos hosszúság irányába mutat, és a tengely inklinációja biztosan 60 fok fölötti. A továbbiakban sajnos O-C modellezés nem lesz lehetséges, mert a minimumdeviancia (4.4. pont) 0,17.

1089 Tama
Ez a kisbolygó meglehetősen kis méretű, 14,1±0,8 km. A megfigyelt fényváltozás (21. ábra) amplitúdója igen alacsony volt, 0,025 magn. A szinodikus periódus gyaníthatóan 8,8±1 óra.

21. ábra. Az 1089 Tama fénygörbéje

1452 Hunnia
Ezt a Kulin György által fölfedezett kisbolygót is mi mértük először. 17,2±0,1 órás szinodikus periódusa igen hosszúnak nevezhető; ez 0,34 magnitúdós amplitúdóval társul. Az egy nap eltéréssel végzett mérések során azonos összehasonlítót használtunk, így a két észlelt minimum közötti 0,11 magn. fényességkülönbség nem az aspect változásának, hanem a két minimum tényleges különbözőségének az eredménye (22. ábra).

22. ábra. Az 1452 Hunnia kompozit fénygörbéje

1508 Kemi
Holliday (1995) már végzett egy mérési sorozatot, de forgási periódust nem határozott meg. Saját megfigyeléseink szerint egy forgás 9,15±0,03 óra alatt történik, ami alatt 0,52±0,01 magnitúdós fényváltozás mérhető (23. ábra).

23. ábra. Az 1508 Kemi fázisdiagramja. Jelek:ópontozott kör - 98.10.22., telt kör - 98.10.26.

1604 Tombaugh
Előző fotometriái: 1975 (Lagerkvist 1978) és 1984 (Binzel 1987). Bár az 1975-ös fénygörbe szórása nagy, Binzel pedig mindössze 16 pontot közöl, AM-módszerrel modellezni tudtuk forgását. Az alakot egy a/b=1,16±0,10, b/c=1,05±0,05 tengelyarányú ellipszoiddal jellemeztük, míg aszámított forgásvektor:
 =3/183±10^o, =60±15^o .

24. ábra. Az 1604 Tombaugh fázisdiagramja. Alkalmazott jelek: nyílt négyzet - 98.01.04., telt kör - 98.01.05.   25. ábra. Az 1604 hosszúság-amplitúdó függése az illesztett görbével  

1627 Ivar
1985 és 1990 között három fotometriai adatsor és egy radarmérés született erről az aszteroidáról (Hahn et al. 1989, Velichko et al. 1990, Hoffmann & Geyer 1990, Ostro et al. 1990). Méréseinket 1998 december 14-16. között végeztük, és ezek alapján 0,77 magnitúdós amplitúdót állapítottunk meg, 4,797 órás periódussal (26. ábra).Az előző mérésekkel összevetve AM-módszerű modellezést vittünk véghez (20. ábra), melynek eredményeképpen az alakot a/b=1,75, b/c= 1,23 arányokkal bíró ellipszoid képében határoztuk meg.

26. ábra. Az 1627 Ivar fázisdiagramja. Kör ponttal: 98.12.15., négyzet: 98.12.14., x: 98.12.16.  
A forgásvektor koordinátái (325, 17). Az amplitúdók illesztését a 27. ábrán mutatjuk be. A mért és illesztett amplitúdók viszonylag nagy eltérése a tengely alacsony és a pálya nagy inklinációjának együttes eredménye. Az ekliptikától jelentősen kiemelkedő pozíciókban ugyanis az aspect erősen  b-függő. Számításaink során ezt a jelenséget természetesen számba vettük; azonban két független és egy függő változó ábrázolása szinte reménytelen feladat, ezért az illesztett görbét 0 pályainklinációra számítottuk, eliminálva ezzel az illesztés egyik dimenzióját. 27. ábra. Az 1627 Ivar megfigyelt amplitúdói és a modell illesztése

1727 Mette
Erről a kisbolygóról készült az első, immár történelmi jelentőségűkisbolygós fotometria, még 1932-ben. Az előző adatsort kiegészítve méréseinkkel, pontos modellt tudtunk adni a kisbolygóra:  = 120/300±10^o, =43±15^o, a/b=1,91±0,10, b/c=1,55±0,10.

28. ábra. Az 1727 Mette fázisdiagramja. Jelek: nyílt négyzet - 98.02.26., telt kör - 98.02.27.   29. ábra. Az 1727 hosszúság-amplitúdó összefüggése az illesztett görbével

1865 Cerberus
Ezt a Kohoutek által fölfedezett kisbolygót úgy tartják számon, mint az egyiklegnagyobb fényváltozást produkáló aszteroidát. Első fotometriája alkalmával (Harris & Young 1989) 2 magnitúdós fényváltozás volt tapasztalható. Saját, 158 pontból álló R szűrős mérésünk alatt még nagyobb, 2,3±0,1 magnitúdós változást tapasztaltunk. A szimmetrikus fénygörbe alapján valószínűsíthető, hogy egy igen elnyúlt (a/b legalább 8!) alak forgása okozza a megfigyelt változást. Lehet, hogy egy kisbolygók közötti ütközés alkalmával letört szilánkkal állunk szemben az 1865 Cerberus személyében. Az igen nagy látszó sajátmozgás miatt (4" percenként) 2 perces integrációs időket alkalmaztunk. A mérés közben nagy élmény volt a monitoron követni a fényváltozást, mivel a maximumban átlagosan fényes (16 magnitúdó körüli) kisbolygó minimumban szinte eltűnt a CCD-képekről! Kompozit diagramunk nulla fázisa JD 2451113,5000 (30. ábra).

30. ábra. Az 1865 Cerberus kompozit fénygörbéje. Jelek: nyílt négyzet - 98.10.23., telt kör - 98.10.26.

2415 Ganesa
Első fotometriát végeztünk. 0,15 magnitúdós amplitúdója és 6,86±0,25 órás forgási periódusa szokványosnak mondható.

31. ábra. A 2415 Gneisa fénygörbéje

9262 1973 RF
Habár a kisbolygó átmérője 20 km, méretét meghazudtolóan kicsi az amplitúdója, 0,08±0,015 magn. Első fotometriánk alapján periódusát 8,5±0,5 órára tehetjük.

33. ábra. A 9262 1973 RF fénygörbéje

1989 UR
Ennek a kisbolygónak is első fotometriáját végeztük. A megfigyelési eredményekből megbízhatóan kimutatható, hogy az átlagfényesség 0,15 magnitúdóval változott méréseink alatt. Ezen kívül a fénygörbe erősen sugall egy kicsit több, mint 1 órányi periódusú fényváltozást is. Ennek biztos alátámasztásához azonban több éjszakára terjedő adatsorra lenne szükség.

33. ábra. Az1989 UR felű földsúroló fénygörbéje

1998 FM5
Ezt a földsúroló kisbolygót a NEAT csoport fedezte fel 1998. március 24-én. Nagy látszó sajátmozgása miatt egy perces expozíciókat kellett alkalmaznunk. A fényváltozás amplitúdója 0,61 magnitúdó, ami szokványos érték a hasonló kisbolygók között. A szinodikus periódus 10±1 óra.

34. ábra. Az 1998 FM5 fénygörbéje

1998 PG
Három éjszakáról van adatsorunk. Két periódusú fénygörbét kaptunk, melynek Fourier-analízisével 1,25 illetve 6,4 órás forgási periódusokat állapítottunk meg. Az adatok részletes analízise Petr Pravec (Ondrejov Obszervatórium, Csehország) irányításával jelenleg folyamatban van. Véleményünk szerint azonban e kisbolygó esetében is szabad precessziót kell föltételeznünk, a 409 Aspasiánál már részletezett okok miatt. Ebben az esetben egy ilyen mértékű precesszió kiváltásához legalább 1,5 J/kg -os ütközési energiávl kell számolnunk. Mivel ez erősen alsó becslés, kétséges, hogy az adott méretű (kb. 2 km átmérőjű) kisbolygótest valóban elszenvedte az ütközést. (U.i. ez az energia közel van a 2 km-es kisbolygók törési küszöbéhez, és a valódi energia nyilván 2x 5x nagyobb volt ennél.) Ezért azt is el lehet képzelni, hogy az 1998 PG egy nagyobb aszteroida ütközése során leszakadt darab. Ez esetben a "szülőobjektum" ütközése nem történhetett 50 100 ezer évnél régebben, hiszen a szabad precesszió jelensége ilyen időskálán megszűnik.

35. ábra. Az 1998 PG tipikus fényváltozása (98.11.26.)

   Egy jellegzetes fénygörbéjét a 35. ábrán, míg a három éjszaka egyesítettfénygörbéjének Fourier-spektrumát a 36. ábrán  mutatjuk be.

36. ábra. Az 1998 PG Fourier-spekruma

A 6. táblázatban összefoglaljuk a mért kisbolygók általunk meghatározott fizikai paramétereit. Az oszlopok rendre: kisbolygó sorszáma, szinodikus periódus órában (±0,01-1 óra), sziderikus periódus napban (±0.0000007 nap), fényváltozás amplitúdója magnitúdóban (±0,01), a pólus ekliptikai koordinátái (±10 ), tengelyarányok a háromtengelyű ellipszoid-modellben (±0,05). Teljes modellt csak két kisbolygóra tudtunk megadni, ezek értékét az emeli, hogy a mi eredményeink a legelsők az irodalomban. Az 52 Europa és 316 Geometria szintén modellezhető megfigyeléseink segítségével, de ez a munka T. Michalowski irányításával folyik a Poznani Obszervatóriumban.
 
 

Kisbolygó	Psin (h)	Psid (h)	A (mag)			a/b	b/c
52	5,24	*	0,22	*	*	*	*
73	8,29		0,28			1,26
288	?		?
316	6,3	*	0,08	*	*	*	*
409	9,2 és 40,9		0,12 és 0,3			1,18	1,1
638	4,61		0,125	19/199o	78o	1,1	1,05
792	9,19		0,76
852	6,42		0,32	170/350o	>60o	>1,35
1089	8,8		0,025
1452	17,2		0,34
1508	9,15		0,52
1604	6,19		0,17	3/183o	60o	1,16	1,05
1627	4,797		0,77	325o	17o	1,75	1,23
1727	3,22	0,1325948	0,15	120/30o	43o	1,91	1,55
1865	6,87		2,3			>8
2415	6,86		0,15
9262	8,5		0,08
1989 UR	>20 és 1,07?		>0,15
1998 FM5	10,0		0,60
1998 PG	1,25 és 6,4		0,16

  6. táblázat. A megfigyelt kisbolygók fizikai paraméterei