A Galaxis gravitációs tere

Általános esetben egy tetszőleges tömegeloszlás gravitációs potenciálterét a Poisson-egyenlet megoldása adja:

$$\triangle \Phi (\mathbf{r}) =  4 \pi G \rho (\mathbf{r})$$ (4.13)

ahol $\rho$ a tömegsűrűség, $\triangle$ pedig a Laplace-operátor.

(4.13) általános megoldása:

$$\Phi (\mathbf{r}) = - G \int_V {{\rho (\mathbf{r'})} \over {\vert\mathbf{r'} - \mathbf{r} \vert} } d \mathbf{r'}$$ (4.14)

ahol V a tömegeloszlás teljes térfogatát jelenti, az r' vektor pedig végigfut minden olyan ponton, ahol a sűrűség nem nulla.

A gravitációs térerősség a potenciál negatív gradiense lesz:

$$\mathbf{E} = -\nabla \Phi (\mathbf{r}) = -G \int_V {{\rho (\mathb... ...rt\mathbf{r'} - \mathbf{r} \vert^3} } (\mathbf{r'} - \mathbf{r}) d \mathbf{r'}.$$ (4.15)

Ha a Tejútrendszerben a $\rho(\mathbf{r})$ függvény ismert lenne, az (4.14) és (4.15) egyenletekből elvileg meghatározhatnánk a potenciált és a térerősséget is minden pontban. A gyakorlatban azonban ez szinte lehetetlen, mivel a Tejútrendszer, vagy bármely galaxis tömegeloszlásáról csak nagyon közelítő becslésekkel rendelkezünk. Ezért általában további megfontolásokra van szükség.

Mivel a Tejútrendszer milliárd éves időskálán stabil képződmény, gravitációs terét jó közelítéssel időben állandónak tekinthetjük. A tapasztalat szerint a korongot alkotó csillagok és gázfelhők a középpont körül keringő mozgást végeznek (4.3. fejezet). Ezért a Tejútrendszer gravitációs terét a korongra merőlegesen álló forgástengelyre szimmetrikusnak tételezzük fel. A forgásszimmetria miatt a gavitációs erő és a potenciál csak a középponttól mért R távolságtól és a fősíktól mért z távolságtól függ.