Mozgás tengelyszimmetrikus gravitációs térben

Vizsgáljuk meg a tömegpontnak tekintett csillagok mozgását a Tejútrendszer tengelyszimmetrikus gravitációs terében! Egy tetszőleges m tömegű csillag mozgásegyenlete:

$$\ddot{\mathbf{r}} =  - \nabla \Phi =  - {{\partial \Phi} \over {\partial R}} \mathbf{e_R} - {{\partial \Phi} \over {\partial z}} \mathbf{e_z},$$ (4.16)

ahol r a csillag helyvektora a középponttól mint origótól számítva, $\Phi (R,z)$ a gravitációs potenciál. A helyvektor időderiváltjának hengerkoordináta-rendszerben kifejezett alakját felhasználva a mozgásegyenlet három komponense így alakul:

$$\ddot{R} - R \dot{\phi}^2 = - {{\partial \Phi} \over {\partial R}}$$ (4.17)

$${1 \over R} {\partial \over {\partial t}} ( R^2 \dot{\phi} ) =$$ 0 (4.18)

$$\ddot{z} = - {{\partial \Phi} \over {\partial z}}.$$ (4.19)

(4.19) első integrálja $L_z = m R^2 \dot{\phi}$, a z-irányú impulzusmomentum. Legyen $l_z = L_z / m$, a tömegegységre vonatkozó impulzusmomentum. Ezzel (4.19) a következő alakot ölti:

$$\ddot{R} = - {{\partial \Phi} \over {\partial R}} + {l_z^2 \over R^3}.$$ (4.20)

Vezessük be az effektív potenciált a következő definícióval:

$$\Phi_{\rm eff} =  \Phi + {l_z^2 \over {2 R^2}}.$$ (4.21)

A 4.19 egyenlet így a következő formába írható át:

$$\ddot{R} = - {{\partial \Phi_{\rm eff}} \over {\partial R}}$$ (4.22)

$$\ddot{z} = - {{\partial \Phi_{\rm eff}} \over {\partial z}}.$$ (4.23)

Az effektív potenciálnak minimuma van a z=0 fősíkban lévő körpályán történő keringés esetén. Valóban, a $\partial \Phi_{\rm eff} / \partial R = 0$ egyenlet megoldásából $\partial \Phi = R \cdot \dot{\phi}^2$ adódik, ami a körmozgás egyenlete ( $\dot{\phi}$ a szögsebesség).

Jelöljük a körpálya sugarát $R_m$-mel, és fejtsük Taylor-sorba $\Phi_{\rm eff}$-t minimumhelye (azaz $R = R_m$ és z=0) körül:

$$\Phi_{\rm eff} =  \Phi_{\rm min} + {1 \over 2} \left ( {{\partia... ...ial^2 \Phi_{\rm eff}} \over {\partial z^2}} \right )_{R_m} \cdot z^2 +  \dots,$$ (4.24)

mert az elsőrendű deriváltak a minimumhelyen 0-t adnak, a másodrendű vegyes derivált pedig a függvény alakja miatt esik ki. Az effektív potenciál tehát a másodrendű tagokig bezárólag a következő alakba írható:

$$\Phi_{\rm eff} \approx  \Phi_{\rm min} + {1 \over 2} \kappa^2 x^2 + {1 \over 2} \nu^2 z^2,$$ (4.25)

ahol $x = R - R_m$, a másodrendű deriváltakat pedig $\kappa^2, \nu^2$-tel jelöltük. Ezzel a (4.23) mozgásegyenletek a következő alakot öltik:

$$\ddot{x} =  - \kappa^2 x        \ddot{z} =  -\nu^2 z ,$$ (4.26)

ami a harmonikus rezgőmozgás egyenlete x-re és z-re is. Tehát a csillag mozgása két egymásra merőleges irányú harmonikus rezgés szuperpozíciójából áll elő. $\kappa, \nu$ szokásos elnevezése: epiciklus frekvencia. (4.26) megoldásai:

$$x(t) = R - R_m = A_R \sin \kappa t$$ (4.27)

$$z(t) = A_z \sin ( \nu t + \zeta ),$$ (4.28)

Látható, hogy a csillag keringése során mind a pálya központtól mért R sugara, mind a fősíktól való z távolsága oszcillál. A kétféle oszcilláció közti fáziskülönbséget jelöli $\zeta$.

A keringés szögsebessége a definíció alapján:

$$\dot{\phi} =  {l_z \over R^2(t)} \approx  {l_z \over R_m^2} ( 1 - 2 {x \over R_m}).$$ (4.29)

ahol kihasználtuk, hogy $x \ll R_m$. A fenti egyenlet integrálásával kaphatjuk a csillag időfüggő szögkoordinátáját:

$$\phi(t) =  \phi_0 + {l_z \over R_m^2} \cdot t + {{2 l_z} \over R_m^3} {A_R \over \kappa} \cos \kappa t.$$ (4.30)

Ha $\Omega = l_z / R_m^2$ a körpályán való keringés körfrekvenciája, adódik:

$$\phi(t) =  \phi_0 + \Omega \cdot t + {2 \over R_m} {\Omega \over \kappa} A_R \cos \kappa t.$$ (4.31)

Látható, hogy a szögkoordináta nem egyenletesen változik, mint tiszta körmozgás esetén, hanem a szögsebesség az epiciklus frekvenciával oszcillál az egyenletes körmozgás szögsebessége körül. A csillag tehát időnként ``siet'', időnként ``késik'' a körpályán történő mozgáshoz képest.

Az epiciklus frekvencia egyszerűen kifejezhető a fentebb definiált Oort-konstansokkal. A definíciók felhasználásával adódik, hogy $\kappa^2 = - 4 B \cdot (A-B)$. A Napra $\kappa_0 \approx 35.6$ km/s/kpc. Mivel az LSR szögsebessége $\Omega_0 = A-B$, a kettő aránya:

$${\kappa_0 \over \Omega_0} =  {{-2 \cdot \sqrt{B(A-B)}} \over {A-B}} = -2 \cdot \sqrt{{B \over {A-B} }} =  1,35.$$ (4.32)

Mivel a kétféle körfrekvencia aránya nem egész szám, a pálya egy keringés során nem lesz zárt görbe.