Az általános relativitáselmélet alapegyenlete a
(5.1) |
Einstein-egyenlet, ahol a gravitációs állandó (feltettük, hogy a fénysebesség , azaz az idő- és a hosszmértékek azonosak), az indexek pedig 0 és közötti értékeket vesznek fel. az Einstein-tenzor, az a görbületi skalár, a metrikus tenzor és az inverze, a metrika második időderiváltjait tartalmazó, a téridő-görbület lokális részét jellemző Ricci-tenzor, végül az energia-impulzus tenzor. Az Einstein-egyenlet az időváltozóban 6 másodrendű és 4 elsőrendű (a térváltozókban pedig 10 másodrendű), egymással csatolt, nemlineáris, parciális differenciálegyenletből álló rendszert jelent a metrikus tenzor 10 független komponensében, amelyek az időn kívül a 3 térváltozónak is függvényei. Mivel a második időderivált 4 egyenletből hiányzik, a gravitáció ún. kényszeres dinamikai rendszert alkot. A 3 impulzus- (diffeomorfizmus-), illetve a hamiltoni kényszer a kezdőfeltételek választását korlátozza, ezenkívül a dinamikai fejlődés jellemzésére nem áll rendelkezésre megfelelő számú másodrendű egyenlet. Bonyolultsága miatt kisegítő feltételek megadása nélkül a rendszer megoldhatalan. A leggyakrabban használt kisegítő feltételek: (a) az energia-impulzus tenzor egyszerű megválasztása és (b) szimmetriakövetelmények.