Az Einstein-egyenletek megoldásáról

Az általános relativitáselmélet alapegyenlete a

$$G_{ab}=8\pi GT_{ab}$$ (5.1)

Einstein-egyenlet, ahol $G$ a gravitációs állandó (feltettük, hogy a fénysebesség $c=1$, azaz az idő- és a hosszmértékek azonosak), az indexek pedig 0 és $3$ közötti értékeket vesznek fel. $G_{ab}=R_{ab}-Rg_{ab}/2$ az Einstein-tenzor, az $R=g^{ab}R_{ab}$ a görbületi skalár, $g_{ab}$ a metrikus tenzor és $g^{ab}$ az inverze, $R_{ab}$ a metrika második időderiváltjait tartalmazó, a téridő-görbület lokális részét jellemző Ricci-tenzor, végül $T_{ab}$ az energia-impulzus tenzor. Az Einstein-egyenlet az időváltozóban 6 másodrendű és 4 elsőrendű (a térváltozókban pedig 10 másodrendű), egymással csatolt, nemlineáris, parciális differenciálegyenletből álló rendszert jelent a $g_{ab}$ metrikus tenzor 10 független komponensében, amelyek az időn kívül a 3 térváltozónak is függvényei. Mivel a második időderivált 4 egyenletből hiányzik, a gravitáció ún. kényszeres dinamikai rendszert alkot. A 3 impulzus- (diffeomorfizmus-), illetve a hamiltoni kényszer a kezdőfeltételek választását korlátozza, ezenkívül a dinamikai fejlődés jellemzésére nem áll rendelkezésre megfelelő számú másodrendű egyenlet. Bonyolultsága miatt kisegítő feltételek megadása nélkül a rendszer megoldhatalan. A leggyakrabban használt kisegítő feltételek: (a) az energia-impulzus tenzor egyszerű megválasztása és (b) szimmetriakövetelmények.