A hidrosztatikai egyensúly egyenlete

A csillagok belső szerkezetét a folyadékok mechanikájából jól ismert hidrosztatikai egyensúly egyenletével tárhatjuk fel. Ehhez tekintsünk egy stabil egyensúlyban lévő gázgömböt! A gömbszimmetria miatt a fizikai mennyiségek (nyomás, sűrűség, hőmérséklet) csak a centrumtól mért r távolság függvényei lesznek. Szemeljünk ki egy tetszőleges r távolságnál egy infinitezimálisan vékony (dr vastagságú) gömbhéjat (1.1. ábra)! A gömbhéjon belül a $ \rho$ sűrűség konstansnak tekinthető. E gömbhéj tömegét a következő összefüggés adja:

$\displaystyle
                  dm(r) =  4 \pi \rho(r) r^2 dr$ (1.6)

Erre a gömbhéjra felírva a hidrosztatikai egyensúly egyenletét, a következőt kapjuk:

$\displaystyle {{dP(r)} \over
                  {dr}} =  - \rho(r) g(r) =  -
                  \rho(r) {{GM(r)} \over {r^2}},$ (1.7)

ahol P(r) a nyomás, g(r) pedig a lokális gravitációs gyorsulás.

Az M(r) függvény az r sugáron belüli tömeget jelöli:

$\displaystyle M(r) = 
                  4 \pi \int_0^r \rho(r) r^2 dr,$ (1.8)

ez utóbbi képlet a tömeg-kontinuitási, azaz a tömeg megmaradását kifejező egyenlet.

1.1. Ábra: Gömbhéjas szerkezetű csillagot feltételezve a hidrosztatikai egyensúly egyenlete könnyen felírható
Image
                csillagok1_fig1

A hidrosztatikai egyensúly alapegyenlete az (1.6) képlet felhasználásával átírható egy másik alakba, ahol nem a távolságot (r), hanem az M(r) tömeget tekintjük független változónak. Rövid számolás után kapjuk:

$\displaystyle {{dP(r)} \over
                  {dm}} =  - {1 \over {4 \pi}} {{GM(r)} \over
                  {r^4}}.$ (1.9)

Ez a leírásmód az ún. Lagrange-formalizmus.

Szeged 2013-05-01