A hidrosztatikai egyensúly egyenlete

A csillagok belső szerkezetét a folyadékok mechanikájából jól ismert hidrosztatikai egyensúly egyenletével tárhatjuk fel. Ehhez tekintsünk egy stabil egyensúlyban lévő gázgömböt! A gömbszimmetria miatt a fizikai mennyiségek (nyomás, sűrűség, hőmérséklet) csak a centrumtól mért r távolság függvényei lesznek. Szemeljünk ki egy tetszőleges r távolságnál egy infinitezimálisan vékony (dr vastagságú) gömbhéjat (1.1. ábra)! A gömbhéjon belül a $\rho$ sűrűség konstansnak tekinthető. E gömbhéj tömegét a következő összefüggés adja:

$$dm(r) =  4 \pi \rho(r) r^2 dr$$ (1.6)

Erre a gömbhéjra felírva a hidrosztatikai egyensúly egyenletét, a következőt kapjuk:

$${{dP(r)} \over {dr}} =  - \rho(r) g(r) =  - \rho(r) {{GM(r)} \over {r^2}},$$ (1.7)

ahol P(r) a nyomás, g(r) pedig a lokális gravitációs gyorsulás.

Az M(r) függvény az r sugáron belüli tömeget jelöli:

$$M(r) =  4 \pi \int_0^r \rho(r) r^2 dr,$$ (1.8)

ez utóbbi képlet a tömeg-kontinuitási, azaz a tömeg megmaradását kifejező egyenlet.

1.1. Ábra: Gömbhéjas szerkezetű csillagot feltételezve a hidrosztatikai egyensúly egyenlete könnyen felírható

A hidrosztatikai egyensúly alapegyenlete az (1.6) képlet felhasználásával átírható egy másik alakba, ahol nem a távolságot (r), hanem az M(r) tömeget tekintjük független változónak. Rövid számolás után kapjuk:

$${{dP(r)} \over {dm}} =  - {1 \over {4 \pi}} {{GM(r)} \over {r^4}}.$$ (1.9)

Ez a leírásmód az ún. Lagrange-formalizmus.