Fehér törpék evolúciója

A fehér törpecsillagokban az elfajult elektrongáz nyomása tart egyensúlyt a gravitációval. A fehér törpék struktúrájának érdekessége, hogy méretük fordítottan arányos a tömegükkel, ellentétben a csillagok tömeg-sugár összefüggésével. A hidrosztatikai egyensúly miatt a centrális nyomás közelítőleg $P_c \sim (G M^2) / R^4$, az elfajult elektrongáz nyomása pedig $P_e = K \rho^{5/3}$. Mivel $P_c \approx P_e$, a sűrűséget a tömeggel és a sugárral kifejezve adódik a fehér törpék tömeg-sugár relációja:

$$\left ({M \over M_{\odot}} \right ) =  10^{-6} \left ( {R \over R_{\odot}} \right )$$ (2.21)

Mivel a fehér törpék belsejében nincs fúziós energiatermelés, ezek a belső termikus energiájukat sugározzák ki, eközben lassan hűlnek és halványodnak. A fehér törpék hűlési törvényét egyszerűen becsülhetjük abból, hogy luminozitásuk a belső energia időbeli csökkenéséből származik: $L = - dU / dt = - C (dT/dt)$, ahol C a csillag teljes hőkapacitása. Feltéve, hogy a luminozitás és a hőmérséklet összefüggése a Stefan-Boltzmann-törvényhez hasonló, azaz $L \sim T^4$, a luminozitásra a következő egyenletet kapjuk:

$${{dL} \over {dt}} =  k_1 \cdot L^{7/4},$$ (2.22)

ahol $k_1$ a csillag paramétereitől függő, időben kb. állandónak tekinthető tagokat foglalja össze. A fenti szétválasztható változójú differenciálegyenletet megoldva, a fehér törpék lehűlési törvényére adódik:

$$L \sim t^{-4/3} .$$ (2.23)

Tehát a fehér törpék luminozitása időben hatványfüggvény szerint csökken. Pontosabb számításokkal a hatványkitevő $-7/5$-nek bizonyul. Ez alapján a fehér törpék lehűlési ideje években kifejezve:

$$t_{\rm cool} =  4.6 \times 10^6 \left ( {L \over {L_{\odot}}} \right )^{-5/7}.$$ (2.24)

Egy tipikus fehér törpe tömege kb. 0,6 $M_{\odot }$, luminozitása $3 \times 10^{-5}$ $L_{\odot}$, ezek alapján a lehűlési ideje $\sim 10^{10}$ év.