Lagrange-pontok, Roche-térfogat

A kettőscsillagok fizikai mennyiségei közti egyik legáltalánosabb összefüggés Kepler 3. törvénye:

$\displaystyle {{A^3} \over
                  {P^2}} =  {G \over {4 \pi^2}} (m_1 + m_2),$ (2.32)

ahol $ m_{1,2}$ a komponensek tömegei, A a relatív pálya fél nagytengelye ( $ A = A_1 + A_2$, ahol $ A_{1,2}$ a komponensek abszolút pályájának sugara a tömegközépponti rendszerben), P a keringési periódus.

A tömegközépponti rendszerben a pálya menti keringésből származó impulzusmomentum:

$\displaystyle J_{\rm
                  orb} =  {{2 \pi} \over P} {{m_1 m_2} \over
                  {m_1 + m_2}} A^2.$ (2.33)

Ha a komponensek forgását is figyelembe vesszük, a forgási impulzusmomentum:

$\displaystyle J_{\rm
                  rot} =  (\alpha_1 m_1 R_1^2 + \alpha_2 m_2
                  R_2^2) \omega,$ (2.34)

ahol $ \alpha_{1,2}$ a két komponens tömegeloszlására jellemző konstans (fősorozati csillagokra $ \alpha \sim$ 0,01 - 0,1), $ \omega = 2 \pi
        /P$ a keringés körfrekvenciája, és feltételeztük, hogy a csillagok forgása és keringése kötött (ami szoros kettős rendszerben gyakran teljesül).

A teljes impulzusmomentum a pályamomentum és a forgási momentum összege, azaz

$\displaystyle J = J_{\rm orb} +
                  J_{\rm rot} =  {{2 \pi} \over P} \left (
                  {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}} A^2 + (\alpha_1 m_1
                  R_1^2 + \alpha_2 m_2 R_2^2) \right ).$ (2.35)

A kettőscsillag gravitációs terének egy P = (x,y,z) koordinátájú pontjában a gravitációs potenciál értéke

$\displaystyle \phi = 
                  -{{G m_1} \over r_1} - {{G m_2} \over r_2} - {\omega
                  \over 2} r_o^2,$ (2.36)

ahol $ r_{1,2}$ a P pontnak a két komponens tömegközéppontjától mért távolsága, $ r_o$ pedig a forgástengelyre merőlegesen mért távolsága. Ha együttforgó koordináta-rendszert választunk, amelyben az x-tengely mindig átmegy a két csillagon, az origót a tömegközéppontba helyezzük, a forgástengelynek a z-tengelyt jelöljük, és a távolságegységnek a két komponens távolságát választjuk (azaz A=1), akkor a 2.32 egyenlet felhasználásával adódik

$\displaystyle \phi = 
                  -{\omega \over {1+q}} \left ( {1 \over r_1} + {q \over
                  r_2} \right ) - {\omega \over 2} (x^2 + y^2),$ (2.37)

ahol bevezettük a $ q = m_2 / m_1$ jelölést (tömegarány).

A 2.37 egyenlet által leírt potenciálfüggvénynek a két csillag közti szakaszon szélsőértéke, maximuma van. Ezen a helyen a potenciál hely szerinti első deriváltja zérus, azaz az ide helyezett próbatestre nem hat erő. Ez a hely a belső Lagrange-pont, amit $ L_1$-gyel jelölnek. Hasonló pontok találhatók még az x-tengelyen a két komponensen túl ($ L_2$ és $ L_3$), valamint az x-y síkon a relatív pálya két ellentétes pontján ($ L_4$ és $ L_5$), ahogyan ezt a 2.6. ábra is szemlélteti.

2.6. Ábra: A Lagrange-pontok helyzete a $ P_1$ és $ P_2$ pontban lévő, $ m_1$ és $ m_2$ tömegpontok gravitációs terében. $ \mu $ = $ m_2$/($ m_1$+$ m_2$) az ún. redukált tömeg.
Image
                csillagok2_fig6

A belső Lagrange-ponton átmenő ekvipotenciális felületet nevezzük Roche-felületnek, az általa határolt térfogatot pedig Roche-térfogatnak. A két komponens Roche-térfogatának sugarát megadó közelítő képlet:

$\displaystyle
                  R_r(1) \approx  A ( 0.38 - 0.2 \log q
                  )    R_r(2) \approx  A (0.38
                  + 0.2 \log q).$ (2.38)

Szeged 2013-05-01