Szoros kettőscsillagok fejlődése

Az $L_1$ pont és a Roche-térfogat kiemelt jelentőségű a szoros kettőscsillagok fejlődésében. A komponensek egyensúlyi sugara dinamikai okokból nem lehet nagyobb, mint a Roche-térfogat mérete. A Roche-térfogatát kitöltő csillag anyaga az $L_1$ ponton keresztül átáramolhat a másik komponensre (illetve a másik komponens által gravitációsan ``uralt'' térrészbe, lásd 2.7. ábra), így a rendszer tömegaránya megváltozik. A változó tömegarány a pályákat is megváltoztatja, így a szoros kettőscsillagok fejlődése jelentősen eltérhet a magányos csillagoknál tapasztaltaktól.

2.7. Ábra: A $\Phi$ effektív gravitációs potenciál a kettőscsillag komponenseitől való távolság függvényében. Ha egy részecske tömegegységre jutó teljes energiája nagyobb, mint az $L_1$ ponthoz tartozó $\Phi$ értéke (szaggatott vonal), akkor átáramolhat az egyik csillagról a másikra a belső Lagrange-ponton keresztül (forrás: Carroll és Ostlie, 2007).

A Roche-térfogat kitöltése nemcsak a csillag méretétől, hanem a kettős rendszer egyéb paramétereitől is függ. Kepler 3. törvénye (2.32 egyenlet) ilyen alakba is írható:

$$\log A =  {2 \over 3} \log P + {1 \over 3} \log M + 0,624 ,$$ (2.39)

ahol $M=m_1 + m_2$ és A-t napsugárban, M-et naptömegben, P-t napokban mérjük. A 2.38 egyenlet felhasználásával kapjuk a következő összefüggést:

$$\log R_r(1) =  \log (0.38 - 0.2 \log q) + {2 \over 3} \log P + {1 \over 3} \log M + 0,624.$$ (2.40)

Ha példaként egy $m_1 = 5$ $M_{\odot }$, $m_2 = 2$ $M_{\odot }$ csillagokból álló rendszert tekintünk, akkor $M = 7$ $M_{\odot }$, $q=$0,4. A 2.40 egyenletből a nagyobb tömegű főkomponens ($m_1$) Roche-térfogatának sugarára $P=15$ nap periódus mellett $R_r(1) =$22,5 $R_{\odot}$, $P=140$ nap esetén viszont $R_r(1) =$100 $R_{\odot}$ adódik. Nyilvánvaló, hogy a csillag egy rövidebb keringési idejű kettős rendszerben jóval hamarabb képes kitölteni a Roche-térfogatát, mint egy hosszabb periódusidejű rendszerben.

A csillagok fejlődésük során különböző időszakokban képesek a méretüket jelentősen megnövelni. Mivel a nagyobb tömegű csillagok gyorsabban fejlődnek, a nagyobb tömegű főkomponens lesz az, amelyik először képes a Roche-térfogatát kitölteni. Az első (lassú) méretnövekedés még a fősorozati (magbeli hidrogénégető) szakaszban történik. Ha a főkomponens már ekkor kitölti a Roche-lebenyét, A típusú tömegátadásról beszélünk. Ha a fősorozati szakaszban nem, hanem az óriáságon, de még a magbéli He-égés beindulása előtt történik a kitöltés, akkor B típusú tömegátadás jön létre. Ha pedig a He-égés után, a szén-égés beindulása előtt történik meg a kitöltés, C típusú tömegátadás következik be.

A tömegcsere hatására megváltozik a komponensek tömegaránya, és a keringés egyéb paraméterei is. Konzervatív tömegátadásról akkor beszélünk, ha a tömegcsere során a rendszer össztömege (M) és teljes impulzusmomentuma (J) állandó marad (most csak a pályamomentumot tekintjük). A 2.32 és 2.33 egyenletek felhasználásával megkaphatjuk, hogy $\delta m$ tömeg $m_1$-ről $m_2$-re történő átáramlása esetén a relatív pálya fél nagytengelyének megváltozása:

$${{dA} \over A} =  2 \delta m {{m_2 - m_1} \over {m_1 m_2}},$$ (2.41)

a keringési periódusé pedig

$${{dP} \over P} =  3 \delta m {{m_2 - m_1} \over {m_1 m_2}}.$$ (2.42)

A fenti képletekből látható, hogy ha $m_2 < m_1$, akkor $dA<0$ és $dP<0$, azaz ha a tömeget adó (donor-) csillag a nagyobb tömegű, mind a pálya mérete, mind a periódus csökken, tehát a csillagok közelebb kerülnek egymáshoz és a keringésük felgyorsul. Fordítva, ha a donorcsillag kisebb tömegű, a nagytengely (szeparáció) növekszik és a keringés lassul. Egyszerűen belátható, hogy a minimális pályaméret és -periódus akkor következik be, amikor a tömegek kiegyenlítődnek, azaz $q=1$. Ekkor

$$A_{\rm min} =  16 {J^2 \over {G M^3}},     P_{\rm min} =  128 \pi {J^3 \over {G^2 M^5}}.$$ (2.43)

A fenti képletek szerint a tömegarány a tömegátadás sebességét nagymértékben befolyásolja. A csillagfejlődés során először a nagyobb tömegű főkomponens tölti ki a Roche-lebenyét, tehát az első tömegátadásnál $m_1 > m_2$. Mivel ekkor a nagytengely (A) csökken, a Roche-lebeny $R_r(1)$ sugara is csökkenni fog (2.38. egyenlet), ezért a Roche-térfogat kitöltöttsége fokozódik. A pozitív visszacsatolás miatt a tömegátadás egyre gyorsuló ütemben történik meg, a számítások szerint a szabadesési időskálán (gyors tömegátadás). Ez legalább addig tart, amíg a tömegarány ki nem egyenlítődik, de a pontosabb számítások szerint a tömegarány akár meg is fordulhat. Ennek hatására a kezdetben nagyobb tömegű csillag válik a kisebb tömegű mellékkomponenssé.

Ha ettől eltérő módon a kisebb tömegű csillag tölti ki a Roche-lebenyét, tehát $m_1 < m_2$, akkor a 2.41 és 2.42 képletek értelmében a nagytengely és a periódus nő, tehát a csillagok távolodnak egymástól. Ennélfogva a Roche-térfogat sugara is növekszik. A Roche-lebeny kitöltöttsége tehát csökken, akár meg is szűnhet. A csillagnak egyre növelnie kell a sugarát, hogy a kitöltés és a tömegátadás továbbra is fennmaradjon, ami egy lassú, a nukleáris időskálán lejátszódó folyamat. Ez a szakasz a lassú tömegátadás.

Szoros kettős rendszerek megfigyelése során kiderült, hogy számos esetben a fősorozatról már elfejlődött komponens kisebb tömegűnek bizonyult, mint a nagyobb tömegű, ámde még fősorozati állapotú csillag (Algol-paradoxon). Erre a látszólagos ellentmondásra a kettőscsillagokban lejátszódó, fentebb részletezett tömegátadási folyamatok felismerése adta meg a magyarázatot.