Pulzáló csillagok kettős rendszerekben

Irwin (1952, 1959) vizsgálta először részletesebben a fényidő-effektust, fedési kettős és harmadik test esetében.

Számoljuk ki egy ellipszis-pályán keringő csillag radiális sebességét (Szatmáry 1987)! A pálya geometriája a 3.100. ábrán látható (O a tömegközéppont, z a látóirányú elmozdulás, r a rádiuszvektor, v a valódi anomália, $\omega$ a pericentrum-hosszúság, i az inklináció, a a fél nagytengely, $P_o$ a keringési periódus). Onnan leolvasható, hogy

$$Z= r \sin i \sin (v+\omega)$$ (3.59)

A radiális sebesség:

$$V_r=V_0 + \frac{dz}{dt}$$ (3.60)

Időben változó mennyiség r és v, így

$$\frac{dz}{dt}=\sin i \sin (v+\omega) \frac{dr}{dt} + r \sin i \cos (v+\omega) \frac{dv}{dt}$$ (3.61)

3.100. Ábra: Kettős rendszerben keringő csillag pályájának geometriája (Szatmáry 1987).

Az égi mechanikából jól ismert, hogy

$$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e \cos v}$$ (3.62)

és

$$r^2 \frac{dv}{dt}=\frac{2\pi a^2 \sqrt{1-e^2}}{P_o}$$ (3.63)

Ezek alapján

$$V_r(v)=V_0+\frac{2\pi a\sin i}{P_o\sqrt{1-e^2}} \left [ \cos (v+\omega) + e \cos \omega \right ]$$ (3.64)

A radiális sebesség szélsőértékei:

$$V_r=max, ha \cos (v+\omega)=1$$ (3.65)

$$V_r^{max}=V_0+\frac{2\pi a\sin i}{P_o\sqrt{1-e^2}} (e \cos \omega + 1)$$ (3.66)

$$V_r=min, ha \cos (v+\omega)=-1$$ (3.67)

$$V_r^{min}=V_0+\frac{2\pi a\sin i}{P_o\sqrt{1-e^2}} (e \cos \omega - 1)$$ (3.68)

Legyen

$$K=\frac{2\pi a\sin i}{P_o\sqrt{1-e^2}}=\frac{V_r^{max}-V_r^{min}}{2}$$ (3.69)

a sebességamplitúdó, így a radiális sebesség

$$V_r(v)=V_0+K\left [ \cos (v+\omega) + e \cos \omega \right ]$$ (3.70)

Az E excentrikus anomália függvényében ugyanez (Szatmáry 1987):

$$V_r(E)=V_0+K\left [ \frac{(1-e^2)\cos \omega \cos E - \sqrt{1-e^2}\sin \omega \sin E}{1-e \cos E} \right ]$$ (3.71)

Nézzük meg ezután az O-C alakját a valódi anomália függvényében:

$$(O-C)_v=\frac{z(v)-z(v_0)}{c}$$ (3.72)

(3.59), (3.62) és (3.63) alapján

$$z(v)=a(1-e^2) \sin i \;\frac{\sin (v+\omega)}{1+e \cos v}$$ (3.73)

így

$$(O-C)_v=\frac{a \sin i}{c} (1-e^2) \left [ \frac{\sin (v+\omega)}{1+e \cos v} \right ]_{v_0}^v$$ (3.74)

Látható, hogy az O-C görbe alakját e és $\omega$ határozza meg.

Az E excentrikus anomália függvényében ugyanez (Szatmáry 1987):

$$(O-C)_E=\frac{a \sin i}{c} \left [ \sqrt{1-e^2} \cos \omega \sin E + \sin \omega \cos E \right]_{E_0}^E$$ (3.75)

A radiális sebesség és az O-C görbék kiszámításánál az excentrikus anomáliával felírt alakot használjuk, amikor megoldjuk a

$$E=M+e \sin E$$ (3.76)

Kepler-egyenletet, ahol

$$M=\frac{2\pi}{P_o} (t-\tau)$$ (3.77)

a középanomália, $\tau$ pedig a pericentrumon való áthaladás időpontja. A transzcendens Kepler-egyenletet az excentrikus anomália Bessel-függvény együtthatójú trigonometrikus sorfejtésével is megoldhatjuk. A 3.101.-3.104. ábrákon láthatóak a görbék ($P_p$=0,1 nap, $P_o$=1000 nap, $V_0$=0 és K=25 km/s bemenő adatok mellett).

3.101. Ábra: LITE radiális sebesség (négyzetek) és O-C (pontok) görbék (e=0).

3.102. Ábra: LITE radiális sebesség (négyzetek) és O-C (pontok) görbék (e=0,2).

3.103. Ábra: LITE radiális sebesség (négyzetek) és O-C (pontok) görbék (e=0,4).

3.104. Ábra: LITE radiális sebesség (négyzetek) és O-C (pontok) görbék (e=0,6).

Az O-C görbék alakja az excentricitás növekedésével egyre aszimmetrikusabb, a szinuszostól való eltérésük egyre jelentősebb (különösen kis $\omega$ értékeknél). Nagy excentricitásnál $\omega=90^{\circ}$ környékén a fázis nagy részében parabolához hasonló az O-C alakja, így ezzel is meg lehet próbálni az olyan O-C görbék illesztését, amelyeket egyébként rendszerint parabolával szoktak közelíteni. Így két egészen más magyarázat is szóba jöhet: tág kettős rendszerben másodkomponens léte vagy evolúciós periódusváltozás.

Az O-C görbék kevésbé változatosak és jellegzetesek, mint a radiálissebesség-görbék, így ránézésre azokból nehezebb e és $\omega$ értéket becsülni.

Ahhoz, hogy egy pulzáló változó kettőssége megállapítható legyen az O-C diagramjából, legalább néhány keringési perióduson keresztül meg kell figyelni. Másik lényeges kívánalom, hogy a LITE hullám amplitúdója nagyobb legyen az O-C pontok hibájánál.