Az ütközésmentes Boltzmann-egyenlet

Az ütközések ritkasága érdekes lehetőséget kínál a galaxist, mint egymással gyakorlatilag nem kölcsönható nagyszámú tömegpontot tekintő statisztikus fizikai leírásmódra. Ez a módszer a galaxis tömegpontjainak eloszlását a hely- és sebességkoordináták alkotta 6 dimenziós fázistérben vizsgálja.

A fázistér egy pontját 6 koordináta jellemzi: $P = (\mathbf{r}, \mathbf{v}) = (x,y,z,u,v,w)$. Ennek megfelelően az elemi térfogat: $d\Gamma = d^3\mathbf{r} d^3\mathbf{v}$.

Definiáljuk az $f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t)$ sebességeloszlás-függvényt a következő módon:

$$\rho(\mathbf{r}) =  \int f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) d^3 \mathbf{v},$$ (4.49)

ahol $\rho$ a tömegsűrűség az r pontban. Az eloszlásfüggvénnyel kifejezve, a (4.13) Poisson-egyenlet az alábbi alakot ölti:

$$\triangle \Phi (\mathbf{r},t) =  4 \pi G \int f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) d^3 \mathbf{v}.$$ (4.50)

A termodinamikából ismert, hogy az ideális gáz sebességeloszlás-függvénye a Maxwell-Boltzmann-eloszlást követi. Az ideális gázban a részecskék gyakran ütköznek. Ezzel szemben a galaxisok gyakorlatilag ütközésmentes ``gázok''. A galaxisokban ezért f nem maxwelli, és a sebességeloszlás időben állandó, stacionárius lesz. Ilyen stacionárius sebességeloszlásokra jellemző, hogy a sokaságra vonatkozó átlagsebességük zérus:

$$\langle \mathbf{v} \rangle =  {{\int \mathbf{v} f d^3 \mathbf{v}... ...t f d^3 \mathbf{v}}} =  {1 \over \rho} \int \mathbf{v} f d^3 \mathbf{v} =  0.$$ (4.51)

Mivel f stacionárius, idő szerinti deriváltja eltűnik. f teljes deriváltját a komponensek idő szerinti parciális deriváltjaiként felírva kaphatjuk az ütközésmentes Boltzmann-egyenletet:

$${{df} \over {dt}} =  {{\partial f} \over {\partial x}} {{dx} \ov... ...tial f} \over {\partial \mathbf{v}}} + {{\partial f} \over {\partial t}} =  0,$$ (4.52)

ahol kihasználtuk, hogy $\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{v}$ és $\dot{\mathbf{v}} = - \nabla \Phi$. Ennek megoldása időben állandó sebességeloszlás-függvény lesz, azaz f = konstans.

A Boltzmann-egyenlet gyakorlati alkalmazásához igen fontos a Jeans-tétel: bármely stacionárius f eloszlásfüggvény csakis a mozgás első integráljainak függvénye lehet.

A Tejútrendszer (és más spirálgalaxisok) tengelyszimmetrikus gravitációs terében a mozgás első integráljai a teljes energia (E) és a tengely irányú impulzusmomentum ($L_z$):

$$E =  {1 \over 2} (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) + \Phi      L_z = x v_y - y v_x,$$ (4.53)

f tehát a Jeans-tétel értelmében csakis ezek függvénye lehet. Ezek azonban nem elegendőek arra, hogy a Tejútrendszerben tapasztalt aszimmetrikus sebességdiszperziót (4.4.3. fejezet) megmagyarázzák. Feltehetőleg létezik egy harmadik mozgásintegrál is, amelyet azonban mindeddig nem sikerült egyértelműen azonosítani. Ez a harmadik integrál problémája a galaktikus dinamikában.

Kapcsolódó animációk:

• A Galaxis centrumában lévő csillagok mozgása 2,2 mikrométeren készült mérések alapján
  (link: ../animation/galcent_stars.gif, 1,7MB)
  (Forrás: Keck/UCLA Galactic Center Group)
  http://www.astro.ucla.edu/~ghezgroup/gc/images/2011orbits_animfull.gif
  

Kapcsolódó videók:

• Röntgenforrások a Galaxis centrumában
  (link: ../video/galcent_xray.mp4, 32MB)
  (Forrás: ESA-C. Carreau & E. Kuulkers)
  http://spaceinvideos.esa.int/Videos/2012/10/Galactic_Centre_through_Integral_s_eyes