Barotropikus csillag téregyenletei

Barotropikus ideális folyadékot feltételezve, az Einstein-egyenletek rendkívüli módon egyszerűsödnek: csupán 3 diagonális egyenlet marad. A $tt$ és az $rr$ egyenletek explicit alakja

$$2r\frac{d\lambda }{dr}-1+e^{2\lambda } = 8\pi Gr^{2}e^{2\lambda }\rho ,$$ (5.7)

$$2r\frac{d\Psi }{dr}+1-e^{2\lambda } = 8\pi Gr^{2}e^{2\lambda }p .$$ (5.8)

Természetesen a $\rho ,p$ folyadékváltozók is $r$ függvényei. A kissé bonyolultabb $\theta \theta$ egyenlet (vagy a vele ekvivalens $\varphi \varphi$ egyenlet) helyett az energia-impulzus kovariáns deriváltjának eltűnését írjuk fel (a kétszer kontrahált Bianchi-azonosságok miatt ez következménye az Einstein-egyenleteknek):

$$\frac{dp}{dr}=-\frac{d\Psi }{dr}(\rho +p) .$$ (5.9)

Newtoni határesetben $\phi \ll 1$ és a nyomás elhanyagolható a sűrűség mellett. Így az (5.5) és az (5.9) egyenletekből a hidrosztatikai egyensúly

$$\frac{\partial p}{\partial r}=F_{g}\rho$$ (5.10)

newtoni egyenletét kapjuk, amely szerint a csillag nyomásgradiense és az $% F_{g}=-d\phi /dr$ egységnyi tömegre ható gravitációs erő egymást kiegyensúlyozza. A következőkben megvizsgáljuk, hogyan módosul a fenti egyenlet erős gravitáció jelenlétében.