Az Oppenheimer-Volkoff-egyenlet

Az (5.7) egyenlet átírható

$$\frac{d}{dr}\left[ r\left( 1-e^{-2\lambda }\right) \right] =8\pi Gr^{2}\rho$$ (5.11)

alakra, továbbá a szögletes zárójel helyére $2Gm(r)$ kifejezést írva, az egyenlet az

$$\frac{dm(r)}{dr}=4\pi r^{2}\rho$$ (5.12)

egyszerű alakot ölti. Formális integrálás után:

$$m(r)=4\pi \int \rho r^{2}dr+m_{0} .$$ (5.13)

Az első tag az $r$ sugarú gömbbe eső energia térfogati integrálja, míg $m_{0}$ az origóban található tömeg, amit nullának választhatunk (hacsak nincs ott egy tömeges szingularitás). A csillag $R$ határán számolt $m\left( R\right)$ tömegfüggvény a csillag $M$ Schwarzschild-tömege lesz.

Az (5.8) és (5.6) egyenletekből a következőt kapjuk:

$$\frac{d\Psi }{dr}=\frac{4\pi Gr^{3}p+Gm(r)}{r\left[ r-2Gm(r)\right] } .$$ (5.14)

Kiküszöbölve $d\Psi /dr$-t a (5.9) összefüggés segítségével, előáll a

$$\frac{dp}{dr}=-\frac{4\pi Gr^{3}p+Gm\left( r\right) }{r\left[ r-2Gm(r)\right] }(\rho +p)$$ (5.15)

ún. Oppenheimer-Volkoff-egyenlet, amely a hidrosztatikai egyensúly egyenletének relativisztikus változata. Newtoni határesetben ($p$ elhanyagolható $\rho$ mellett és $r\gg 2Gm$) visszakapjuk a hidrosztatikai egyensúly

$$\frac{dp}{dr}=-\frac{Gm\rho }{r^{2}}$$ (5.16)

newtoni egyenletét.

Pozitív nyomású anyag mellett az (5.15) egyenlet jobb oldalán mindkét számlálóbeli szorzó nagyobb, míg a nevező kisebb a newtoni (5.16) egyenletben található megfelelő tagoknál, vagyis az általános relativisztikus esetben a nyomás növekedése az origóhoz (csillag belsejéhez) közeledve hangsúlyosabb a newtoninál. Az eltérés a csillag kompaktságának mértékével együtt nő.^5.4 Kompakt égitesteknél (fehér törpék, neutroncsillagok) az eltérések jelentősek.