Oppenheimer-Snyder-kollapszus

Az egyszerűség kedvéért modellezzük az összehúzódó csillag anyagát nyomásmentes ideális folyadékkal (porral) és tekintsük gömbszimmetrikusnak. Az ívelemnégyzet egy Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-téridő (FLRW), amely együttmozgó $(\tau ,\chi )$ koordinátákban:

$$ds_{FLRW}^{2}=-d\tau ^{2}+a^{2}\left( \tau \right) \left[ d\chi ^{2}+\chi ^{2}\left( d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}\right) \right] .$$ (5.29)

(Mind a görbületi indexet, mind a kozmológiai állandót nullának választottuk.) Az effektív Einstein egyenlet a kozmológiában is használatos Friedmann- és a Raychaudhuri- egyenleteket adja:

$$\frac{\dot{a}^{2}}{a^{2}}=\frac{8\pi G\rho }{3} ,$$ (5.30)

$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\rho .$$ (5.31)

Itt $a\left( \tau \right)$ a csillag skálafaktora, $\rho$ az ideális folyadék sűrűsége, a pont pedig $\tau$ szerinti deriválást jelöl.

A csillag határa konstans együttmozgó $\chi =\chi _{0}$ koordinátánál található, ennek külső tartományában az (5.25) külső Schwarzschild-téridő érvényes. A $\left( \tau ,\theta ,\varphi \right)$ koordinátahármas az illesztési felület koordinátáinak választható. A két tartománynak a közös felületen indukált metrikái

$$ds_{\text{külső}}^{2} = \left[ -\left( 1-\frac{2GM}{r_{0}}\right) \dot{t}% _{0}^{2}+\left( 1-\frac{2GM}{r_{0}}\right) ^{-1}\dot{r}_{0}^{2}\right] d\tau ^{2}$$

$$+r_{0}^{2}\left( d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}\right) ,$$ (5.32)

$$ds_{\text{belső}}^{2} = -d\tau ^{2}+a^{2}\left( \tau \right) \left[ \chi _{0}^{2}\left( d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}\right) \right] ,$$ (5.33)

ahol $r_{0}=r\left( \tau ,\chi _{0}\right)$ és $t_{0}=t\left( \tau ,\chi _{0}\right)$. Az indukált metrika folytonossága értelmében

$$r_{0} = a\left( \tau \right) \chi _{0} ,$$ (5.34)

$$\left( 1-\frac{2GM}{a\left( \tau \right) \chi _{0}}\right) ^{2}\!\!\dot{t}% _{0}^{2}\!\! = 1-\frac{2GM}{a\left( \tau \right) \chi _{0}}+\dot{a}% ^{2}\left( \tau \right) \chi _{0}^{2} .$$ (5.35)

Ezek az egyenletek meghatározzák az illesztési felület időfejlődését.

Az illesztési felület külső görbületének a csillag felőli oldalról nézve csak két nemeltűnő komponense van, ezek $K_{\varphi \varphi }^{\text{belső}% }=K_{\theta \theta }^{\text{belső}}\sin ^{2}\theta$. A belső, illetve a külső tartományból látszó megfelelő külső görbületkomponensek:

$$K_{\theta \theta }^{\text{belső}} = a\left( \tau \right) \chi _{0} ,$$ (5.36)

$$K_{\theta \theta }^{\text{külső}} = \left( 1-\frac{2GM}{r_{0}}\right) r_{0} \dot{t}_{0} .$$ (5.37)

A folytonosságból, felhasználva az (5.34) egyenletet is, $\dot{t}_{0}$-ra kapunk egyszerű kifejezést:

$$\dot{t}_{0}=\left( 1-\frac{2GM}{a\left( \tau \right) \chi _{0}}\right) ^{-1} .$$ (5.38)

Az (5.35) és (5.38) egyenletek összehasonlításából:

$$a\left( \tau \right) \dot{a}^{2}\left( \tau \right) =\frac{2GM}{\chi _{0}^{3} } ,$$ (5.39)

végül a $K_{\tau \tau }^{\text{külső}}=0$ feltételből

$$\ddot{a}\left( \tau \right) =-\frac{GM}{a^{2}\left( \tau \right) \chi _{0}^{3}}$$ (5.40)

következik.

Az (5.39) összefüggés integrálása megadja az összeomló csillag skálafaktorának időfejlődését a $\tau$ együttmozgó idő függvényében:

$$a^{3/2}=a_{0}^{3/2}-\left( \frac{9GM}{2\chi _{0}^{3}}\right) ^{1/2}\tau .$$ (5.41)

Kollapszus modellezéséhez az (5.39) egyenlet $-$'' gyökét kellett választanunk. Az $a_{0}$ integrációs állandó a skálafaktor kezdeti értéke ($\tau =0$-nál). Látszik, hogy a kollapszus véget ér, amikor $a=0$ bekövetkezik, véges $\tau _{1}=\left( 2\chi _{0}^{3}a_{0}^{3}/9GM\right) ^{1/2}$ idő elteltével. Ez azt jelenti, hogy a csillag teljes anyaga az origóba gyűlt!

A (5.30) fejlődésegyenlet segítségével a központi tömeg kifejezhető az energiasűrűség és a csillag sugara segítségével. Eszerint $M$ a csillag energiasűrűségének térfogati integrálja

$$M=\frac{4\pi \chi _{0}^{3}a^{3}}{3}\rho .$$ (5.42)

$M$ állandó, így a csillag energiasűrűsége (5.42) értelmében $\rho \left( \tau \right) \sim a^{-3}$, azaz a csillag eredeti feltevésünk szerint porból áll, mivel nyomása a

$$\dot{\rho}+3\frac{\dot{a}}{a}\left( \rho +p\right) =0$$ (5.43)

folytonossági egyenlet értelmében eltűnik. A kollapszus befejeztével ($a=0$) tehát a por energiasűrűsége végtelen!

Összefoglalva, a kollapszus végtelen sűrűségű ponttá húzza össze a csillagot, mégpedig véges idő elteltével. A pont tehát egy szingularitás, amelynek külső környezete a Schwarzschild-téridő lesz.