Gömbszimmetrikus fekete lyukak

Az (5.25) Schwarzschild-téridőről könnyen belátható, hogy a metrikus tenzor komponensei divergálnak $r=0$ és $r=2GM$ helyeken. Meg lehet mutatni, hogy előbbi egy igazi szingularitás (az $R$ görbületi skalár is divergens), utóbbi azonban csak a rossz koordinátaválasztás következménye. Valóban, léteznek olyan koordináták, amelyekben a metrika jól viselkedik az $R=2GM$ helyen. Ilyenek az Eddington-Finkelstein- és a Kruskal-Szekeres-koordináták. Mindkettőhöz null (fényszerű) koordináták bevezetése szükséges:

$$v=t+r^{\ast } ,\quad u=t-r^{\ast } ,$$ (5.44)

ahol

$$r^{\ast }=r+2GM\ln \left\vert r-2GM\right\vert$$ (5.45)

az ún. teknőc-koordináta. A ($v,u$) koordináták avanzsált és retardált időként ismertek.

Felhasználva, hogy

$$dr^{\ast }=\frac{dr}{\left( 1-\frac{2GM}{r}\right) } ,$$ (5.46)

a (5.25) ívelemnégyzet könnyedén átírható ( $v,r,\theta ,\varphi$) koordinátákra

$$ds_{S_{k\ddot{u}lso}}^{2}=-\left( 1-\frac{2GM}{r}\right) dv^{2}+2drdv+r^{2}\left( d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}\right) .$$ (5.47)

A radiális ( $d\theta =0=d\varphi$) fényszerű ($ds^{2}=0$) geodetikusok eleget tesznek a

$$v = ,$$ (5.48)

$$dr = \frac{1}{2}\left( 1-\frac{2GM}{r}\right) dv$$ (5.49)

egyenletek valamelyikének. Az (5.48), illetve (5.49) egyenletek a radiálisan befelé, illetve kifelé induló fényjeleket írják le. Látható, hogy $r=2GM$ sugárnál a kifelé induló fényjelek radiális $r$ koordinátája nem növekszik, hiába telik az idő (növekszik $v$). Tehát $r=2GM$ az eseményhorizont sugara (ez Schwarzschild-sugárként is ismert). Ha a Schwarzschild-megoldás nem egy $R>2GM$ sugarú objektum külseje, hanem az eseményhorizont sugaránál kisebb sugarakra is kiterjeszthető, akkor fekete lyukat ír le.

Végezetül megjegyezzük, hogy az általános relativitáselmélet első kísérleti bizonyítékai a Schwarzschild-téridőhöz kapcsolódnak. A Naprendszert (a Nap belsejének kivételével) Schwarzschild-téridővel modellezve, a tömeges és tömeg nélküli részecskepályák vizsgálatából a keringő bolygók perihélium-elfordulását és a Nap mellett elhaladó fény elhajlását kapjuk. A megfigyelések nagy pontossággal erősítették meg az elmélet jóslatait.