A nagyon nagy sűrűségű anyag állapotegyenlete

A kvantummechanika értelmében a részecskék helye és impulzusa egyszerre nem lehet meghatározott értékű (Heisenberg-elv). Ha a koordináta bizonytalansága $ \Delta x$, az x irányú impulzusé $ \Delta p_x$, akkor közöttük érvényes a Heisenberg-féle határozatlansági reláció:

$\displaystyle \Delta x \cdot
                  \Delta p_x  \approx  \hbar ,$ (1.25)

ahol $ \hbar$ a Planck-állandó osztva $ 2 \pi$-vel.

A kvantummechanika másik fontos tapasztalati alapelve a Pauli-elv: eszerint egy fizikai rendszerhez tartozó fermionok (feles spinű részecskék) nem lehetnek azonos kvantumállapotban, tehát valamelyik kvantumszámukban különbözniük kell.

A nagyon nagy sűrűségű plazmában a fenti két kvantummechanikai elv együttes hatása a sűrűséget csökkenteni igyekszik. Ha ugyanis a részecskék átlagos távolsága $ \Delta x$ alá csökken, akkor ennek hatására ezek $ \Delta p_x$ impulzusbizonytalansága megnő. A kvantumstatisztika értelmében a koordináták és impulzusok alkotta 6-dimenziós fázistér felosztható $ h^3$ nagyságú kvantumcellákra. A Heisenberg- és Pauli-elvek értelmében minden egyes kvantumcellában legfeljebb két fermion tartózkodhat (ellentétes spinnel). Ha minden kvantumcella betöltődött, és a részecskéket még jobban össze akarnánk nyomni, a rendszerben megjelenik egy kvantumos eredetű nyomás (kvantumnyomás), amely nem függ a hőmérséklettől, pusztán a részecskék sűrűségétől. Az ilyen állapotú anyagot elfajult (degenerált) állapotúnak nevezzük.

Kimutatható, hogy egy teljesen ionizált plazmában először az elektronok válnak elfajulttá, ezért a továbbiakban ezekkel foglalkozunk. Ha az elektronok koncentrációja $
          n_e$, 1 elektronra jutó átlagos térfogat $ V_e \approx 1 /
          n_e \approx l^3$, ahol l az elektronok közti átlagos távolság. Ha a sűrűség nagyon nagy, l nagyon kicsi lesz, tehát a Heisenberg-elv értelmében

$\displaystyle \Delta p \approx
                  {\hbar \over l} =  \hbar n_e^{1/3} = p_F,$ (1.26)

ez a Fermi-impulzus. Az ennek megfelelő energia a Fermi-energia:

$\displaystyle E_F = p_F^2 / 2
                  m_e =  \hbar^2 /(2 m_e) n_e^{2/3}.$ (1.27)

A gáz akkor válik elfajulttá, amikor a Fermi-energia meghaladja a kT termikus energiát. (1.27)-ból látható, hogy ez annál hamarább következik be, minél kisebb a részecskék tömege. Ez az oka annak, hogy először az elektronok kerülnek elfajult állapotba.

A Fermi-energia kifejezését behelyettesítve a nyomásintegrál (1.10) képletébe, elemi integrálás után adódik a nemrelativisztikus elfajult elektrongáz állapotegyenlete:

$\displaystyle P_e = 
                  { {8 \pi h^2} \over {15 \mu_e m_e m_p^{5/3}}}
                  \rho^{5/3} =  K \rho^{5/3},$ (1.28)

ahol $ \mu_e$ az egy elektronra eső relatív atomtömeg, $ m_p$ a proton tömege, $ m_e$ az elektron tömege, K pedig ezen elemi állandókat tartalmazó konstans. Ha az elektronok relativisztikus energiájúak, ehhez teljesen hasonló kifejezés adódik, csak a konstans és a kitevő értéke lesz más: $ P_e
        (\mathrm{rel})  =  K_r \cdot \rho^{4/3}$.

  Szeged  2013-05-01