Izotermikus He-mag, Schönberg-Chandrasekhar-határ

A fősorozati állapot végére a csillag magja egy közel izotermikus He-gömbbé válik. Mivel a centrális hőmérséklet nem elég magas, a He egyelőre nem képes fuzionálni, így a mag inaktív marad. H $\rightarrow$ He fúzió egyedül a magot övező vékony H-gazdag héjban mehet végbe. Az ebből keletkező He folyamatosan növeli a mag tömegét, ami így lassan tovább zsugorodik és melegszik.

Az izotermikus He-magra a külső H-burok jelentős nyomást gyakorol, amit a mag nyomásának kompenzálnia kell. Ennélfogva a He-magra a viriáltétel az alábbi alakú lesz:

$$2 \cdot U_{c} + \Omega_{c} =  3 P_{1} V_{c},$$ (2.18)

ahol $U_c$, $\Omega_c$ és $V_c$ rendre a mag belső energiája, gravitációs energiája és térfogata, $P_1$ pedig a burokból származó külső nyomás. Figyelembe véve, hogy $U_c = (3/2) M_c \mathcal{R} T / \mu_c$ és $\Omega \approx -(3/5) G M_c^2 / R_c$ (a c index mindig a He-magra vonatkozó mennyiségeket jelöli), a külső nyomás így fejezhető ki:

$$P_1 = {3 \over {4 \pi R_c^3} } \left ( {M_c \over \mu_c} \mathcal{R} T - {{G M_c^2} \over {5 R_c}} \right ).$$ (2.19)

Az egyensúly fennmaradásához a fenti egyenleteknek teljesülniük kell. Könnyen belátható azonban, hogy a He-mag tömegének növelésével a fenti képletben szereplő $P_1$ nem monoton nő, hanem létezik egy maximális értéke: $P_1^{\rm max} \sim (1/G^3 M_c^2) (\mathcal{R} T_c / \mu_c)^4$. Ez nagyon hasonló alakú kifejezés ahhoz, mint amit a csillag teljes tömegének és centrális hőmérsékletének kifejezéséből kaphatunk a centrális nyomásra (lásd 1.3. fejezet): $P_c \sim (1/G^3 M^2) (\mathcal{R} T_c / \mu)^4$, ahol M és $\mu$ a csillag teljes tömege és átlagos molekulasúlya. Mivel a mag egyensúlyához $P_c \approx P_1$ szükséges, ebből kifejezhető az egyensúlyban lévő He-mag maximális tömege:

$${M_c \over M} \approx  0,54 \left ( {\mu \over \mu_c} \right )^2.$$ (2.20)

Mivel $\mu_c > \mu$, ezért $M_c < M$. A pontosabb számítások szerint $M_c \approx 0,1 M$, tehát az izotermikus, inaktív He-mag a teljes csillagtömeg kb. 10%-át képes megtartani. Ezt nevezzük Schönberg-Chandrasekhar-határnak.