Differenciális rotáció, Oort-konstansok

A csillagok keringési sebessége a centrumtól mért távolságtól függ; ez a jelenség a differenciális rotáció. Mivel a Föld a Nappal együtt szintén a centrum körül kering, a differenciális rotáció kimutatása és mérése nem triviális.

Vizsgáljuk meg egy olyan csillag mozgását, amely a Naptól d távolságra helyezkedik el, a galaxis centrumától pedig l szögtávolságra látszik! A 4.7. ábrán látható geometriai konfigurációból a csillag LSR-hez viszonyított radiális és tangenciális sebességkomponensei

$$v_r = \Omega R \cos{\alpha} - \Omega_0 R_0 \sin{l} =  (\Omega - \Omega_0) R_0 \sin{l}$$

$$v_t = \Omega R \sin{\alpha} - \Omega_0 R_0 \cos{l} =  \Omega (R_0 \cos{l} - d) - \Omega_0 R_0 \cos{l}$$ (4.8)

ahol $\Omega = \Theta / R$ a csillag keringési szögsebessége, R a csillag távolsága a centrumtól, a 0 index pedig a Nap fizikai mennyiségeit jelöli.

A szögsebesség Taylor-sorából $\Omega(R) = \Omega_0 + (d \Omega / dR )_{R_0} \cdot (R - R_0) + \cdots$, ebből adódik, hogy

$$\Omega - \Omega_0 \approx \left ( {{d\Omega} \over {dR}} \right )... ...} \over {dR}} \right )_{R_0} - {\Theta_0 \over R_0} \right ] \cdot (-d \cos l).$$ (4.9)

ahol kihasználtuk hogy $R \gg d ,  R - R_0 \approx - d \cos l$.

Vezessük be az $A = -(1/2) [ (d \Theta / dR)_{R_0} - \Theta_0 / R_0)$ jelű 1. Oort-konstanst. Az Oort-konstanssal kifejezve a csillag heliocentrikus radiális sebességkomponense

$$v_r =  d \cdot A \sin 2 l.$$ (4.10)

Teljesen hasonló gondolatmenettel és geometriai azonosságok felhasználásával a tangenciális sebességkomponens

$$v_t =  d \cdot (A \cos 2 l + B ),$$ (4.11)

ahol $B = -(1/2) [ (d \Theta / dR)_{R_0} + \Theta_0 / R_0)$, a 2. Oort-konstans.

4.7. Ábra: Egy csillag mozgása a Lokális Nyugalmi Ponthoz (LSR) viszonyítva (részletek a szövegben).

Az Oort-konstansok segítségével egyszerűen kifejezhető a Nap (pontosabban az LSR) szögsebessége: $\Omega_0 = (\Theta / R_0) = A - B$. Az Oort-konstansok mérhető mennyiségek, értékeik A = 14,4 km/s/kpc és B = -12,0 km/s/kpc.