Infláció egy skalármezővel

Az infláció feltétele a gyorsuló tágulás, amely a Raychaudhuri-egyenlet értelmében $\rho +3p<0$. Az Univerzum anyagát az inflaton dominálja, így a hatásfüggvény:

$$S = S_{G}+S_{\phi } ,$$

$$S_{G} = \int dx^{4}\sqrt{-g}R ,$$

$$S_{\phi } = \int dx^{4}\sqrt{-g}\mathit{L}_{\phi } .$$ (6.29)

A hatásfüggvény $S_{G}$ gravitációs részének (Einstein-Hilbert-hatás) a funkcionális deriváltja éppen az Einstein-tenzor:

$$\frac{\delta S_{G}}{\delta g_{ab}}=-\frac{\sqrt{-g}}{2}\left( R^{ab}- \frac{1}{2}Rg^{ab}\right) =-\frac{\sqrt{-g}}{2}G^{ab} .$$ (6.30)

Itt $R_{ab}$ a Ricci-tenzor, $R$ ennek a spúrja, a görbületi skalár és $% G_{ab}$ az Einstein-tenzor, míg $g$ a metrikus tenzor determinánsa. Az első egyenlőség levezetéséhez felhasználtuk a

$$\delta \sqrt{-g} = \frac{\sqrt{-g}}{2}g^{ab}\delta g_{ab} ,$$ (6.31)

$$\delta g^{cd} = -g^{ac}g^{bd}\delta g_{ab}$$ (6.32)

összefüggéseket. Az $S_{\phi }$ anyagi hatás $g_{ab}$ szerinti funkcionális deriválja definíció szerint az energia-impulzus tenzor:

$$T_{ab}=-\frac{1}{4\pi G\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\phi }}{\delta g_{ab}} .$$ (6.33)

A $g_{ab}$ szerinti variálással így a (6.1) Einstein-egyenletekhez jutunk.

Az energia-impulzus tenzor pontos alakját a skalármezőt jellemző $\mathit{L}% _{\phi }\sqrt{-g}$ Lagrange-sűrűség határozza meg. Egy $V$ potenciáltérben mozgó nemrelativisztikus részecske Lagrange-függvényének klasszikus térelméleti általánosítása:

$$\mathit{L}_{\phi }=8\pi G\left[ \frac{1}{2}g^{ab}\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -V\left( \phi \right) \right]$$ (6.34)

a következő energiampulzus tenzorhoz vezet:^6.6

$$T_{ab}=-g_{ab}\left[ \frac{1}{2}g^{cd}\partial _{c}\phi \partial _{d}\phi +V\left( \phi \right) \right] +\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi .$$ (6.35)

FLRW-téridőben feltehetjük, hogy $\phi$ is homogén és izotrop, így csupán az időnek függvénye. Ekkor $T_{ab}$ ideális folyadék típusúvá válik, amelyben

$$\rho =\frac{1}{2}\dot{\phi}^{2}+V\left( \phi \right) , p=\frac{1}{2}\dot{\phi}^{2}-V\left( \phi \right) .$$ (6.36)

Az infláció feltétele

$$\rho +3p=2\left[ \dot{\phi}^{2}-V\left( \phi \right) \right] <0 ,$$ (6.37)

vagyis

$$\dot{\phi}^{2}<V\left( \phi \right) .$$ (6.38)

A hatás $\phi$ szerinti variálása a

$$0=\frac{1}{8\pi G}\frac{\delta S}{\delta \phi }=\sqrt{-g}\frac{dV}{d\phi } -\partial _{a}\left( \sqrt{-g}g^{ab}\partial _{b}\phi \right)$$ (6.39)

Euler-Lagrange-egyenlethez vezet. Felhasználva hogy $\phi$ csak időtől függ, és $\sqrt{-g}=a^{3}r\sin \theta$, valamint vesszővel jelölve a továbbiakban a $\phi$ szerinti deriválást, a kapott Euler-Lagrange-egyenlet:

$$0=V^{\prime }+\frac{\partial _{0}\left( \sqrt{-g}\dot{\phi}\right) }{\sqrt{-g }}=V^{\prime }+\ddot{\phi}+3H\dot{\phi} .$$ (6.40)

Ez a súrlódási taggal ( $3H\dot{\phi}$) kiegészített Klein-Gordon-egyenlet olyan speciális esete, amikor a $\phi$ skalármező csak az időtől függ. A gravitáció fejlődésegyenletei a Friedmann- és a Raychaudhuri-egyenletek, míg a skalármezőé a súrlódással kiegészített Klein-Gordon-egyenlet.

Végül megjegyezzük, hogy a skalármező energiasűrűségére és nyomására felírt

$$0=\dot{\phi}\ddot{\phi}+V^{\prime }\dot{\phi}+3\frac{\dot{a}}{a}\dot{\phi}^{2} .$$ (6.41)

folytonossági egyenlet ugyancsak megadja a skalármező fejlődésegyenletét, amennyiben $\dot{\phi}\neq 0$.