Az infláció feltétele a gyorsuló tágulás, amely a Raychaudhuri-egyenlet értelmében
. Az Univerzum anyagát az inflaton dominálja, így a
hatásfüggvény:
A hatásfüggvény gravitációs részének (Einstein-Hilbert-hatás) a
funkcionális deriváltja éppen az Einstein-tenzor:
|
(6.30) |
Itt a Ricci-tenzor, ennek a spúrja, a görbületi skalár és az Einstein-tenzor, míg a metrikus tenzor determinánsa. Az első
egyenlőség levezetéséhez felhasználtuk a
összefüggéseket. Az anyagi hatás szerinti funkcionális
deriválja definíció szerint az energia-impulzus tenzor:
|
(6.33) |
A szerinti variálással így a (6.1) Einstein-egyenletekhez
jutunk.
Az energia-impulzus tenzor pontos alakját a skalármezőt jellemző
Lagrange-sűrűség határozza meg. Egy potenciáltérben
mozgó nemrelativisztikus részecske Lagrange-függvényének klasszikus térelméleti általánosítása:
|
(6.34) |
a következő energiampulzus tenzorhoz vezet:6.6
|
(6.35) |
FLRW-téridőben feltehetjük, hogy is homogén és izotrop, így csupán
az időnek függvénye. Ekkor ideális folyadék típusúvá válik, amelyben
Az infláció feltétele
|
(6.37) |
vagyis
|
(6.38) |
A hatás szerinti variálása a
|
(6.39) |
Euler-Lagrange-egyenlethez vezet. Felhasználva hogy csak időtől függ, és
, valamint vesszővel jelölve a továbbiakban a szerinti deriválást, a kapott Euler-Lagrange-egyenlet:
|
(6.40) |
Ez a súrlódási taggal (
) kiegészített Klein-Gordon-egyenlet
olyan speciális esete, amikor a skalármező csak az időtől függ. A
gravitáció fejlődésegyenletei a Friedmann- és a Raychaudhuri-egyenletek, míg
a skalármezőé a súrlódással kiegészített Klein-Gordon-egyenlet.
Végül megjegyezzük, hogy a skalármező energiasűrűségére és nyomására felírt
|
(6.41) |
folytonossági egyenlet ugyancsak megadja a skalármező fejlődésegyenletét,
amennyiben
.
Szeged
2013-05-01