A lassú gördülés kis paraméterei

Vezessük be az alábbi (dimenziótlan) paramétereket:

$$\varepsilon \left( \phi \right) =\left( 16\pi G\right) ^{-1}\left( \frac{ V^{\prime }}{V}\right) ^{2} , \eta \left( \phi \right) =\left( 8\pi G\right) ^{-1}\frac{V^{\prime \prime }}{V} ,$$ (6.46)

A következőkben belátjuk, hogy a lassú gördüléses inflációhoz szükséges, hogy mind $\varepsilon$, mind $\eta$ kicsi legyen.

A (6.45) egyenlet négyzetét elosztva a (6.43) egyenlet $V$-szeresével kapjuk, hogy

$$\varepsilon \approx \frac{3}{2}\frac{\dot{\phi}^{2}}{V}\ll \frac{3}{2} .$$ (6.47)

A Friedmann- és Raychaudhuri-egyenletek különbségét képezve (6.38) közelítésben kapjuk, hogy $\dot{H}\approx 0$, tehát $H$ közelítőleg állandó a lassú gördülés közben. Ezt felhasználva, (6.45) időderiváltja adja, hogy:

$$3H\ddot{\phi}\approx -V^{\prime \prime }\dot{\phi} .$$ (6.48)

Amiből következik, hogy:

$$\left\vert \eta \right\vert = \left( 8\pi G\right) ^{-1}\left\vert \frac{ V^{\prime \prime }}{V... ...\approx \frac{3}{8\pi G}\left\vert \frac{H \ddot{\phi}}{V\dot{\phi}}\right\vert$$

$$\ll \frac{3}{8\pi G}\left\vert \frac{HV^{\prime }+3H^{2}\dot{\phi}}{V... ...\vert 1+\frac{H}{8\pi G\dot{\phi}}\frac{ V^{\prime }}{V}\right\vert \text{ }.$$ (6.49)

A (6.45) egyenlet értelmében viszont

$$\frac{H}{8\pi G\dot{\phi}}\frac{V^{\prime }}{V}\approx -\frac{1}{8\pi G} \frac{3H^{2}}{V}\approx 1 ,$$ (6.50)

így

$$\left\vert \eta \right\vert \ll 3 .$$ (6.51)