A sugárzási tér szerepe

A csillagok belsejében a magas hőmérséklet miatt igen jelentős a fotonok nyomása, ami sokkal nagyobb is lehet, mint a gáznyomás. Mivel a csillagok belseje átlátszatlan, a fotonok nem szabadon terjednek, hanem nagyon kis távolságok megtétele után kölcsönhatnak a gázrészecskékkel, majd újra kisugárzódnak. Eközben mind hullámhosszuk, mind terjedési irányuk megváltozhat. Sok ilyen folyamat után a kialakul a sugárzási egyensúly a csillagban, a sugárzás termalizálódik, azaz a fotonok és a gázrészecskék energiaeloszlása ugyanazzal a T hőmérséklettel lesz jellemezhető. Az ilyen sugárzást nevezzük feketetest-sugárzásnak.

Egy T hőmérsékletű feketetest-sugárzás $\nu$ frekvenciájú fotonjainak térbeli energiasűrűsége a Planck-formula alapján

$$u_{\nu} =  {{8 \pi h \nu^3} \over c^3} {1 \over {\exp(h \nu / k T) - 1}},$$ (1.12)

ahol h a Planck-állandó, k a Boltzmann-állandó, c a fénysebesség. Ezt az összes frekvenciára integrálva kaphatjuk meg a feketetest-sugárzás jól ismert energiasűrűségét megadó képletet:

$$u =  a T^4,$$ (1.13)

ahol a az ún. sugárzási konstans, értéke SI-egységekben $7,566$ $\cdot 10^{-16}$.

A nyomásintegrál (1.10) képletét a fotongázra alkalmazva (kihasználva, hogy fotonokra v=c) adódik a sugárzási tér állapotegyenlete:

$$P =  {a \over 3} T^4.$$ (1.14)

Mivel egy $\gamma$ fajhőhányadosú ideális gázra (1.3) értelmében $P = (\gamma - 1) u$, (1.13) és (1.14) behelyettesítéséből látható, hogy a fotongáz úgy viselkedik, mint egy $\gamma = 4/3$ fajhőhányadosú ideális gáz.

(1.11) és (1.14) összeadásával kaphatjuk meg a sugárnyomás ($P_r$) és a gáznyomás ($P_g$) együttes hatását leíró kombinált állapotegyenletet:

$$P =  P_g + P_r =  n k T + {a \over 3} T^4.$$ (1.15)

Ha bevezetjük a gáznyomás és a teljes nyomás arányát megadó $\beta < 1$ paramétert ( $\beta = P_g / P$), egyszerű átrendezéssel adódik

$$P =  {{n k T} \over \beta} =  {\rho \over {\beta \mu}} \mathcal{R} T.$$ (1.16)

Látható, hogy a sugárzási tér (fotonok) hatására az ideális gáz állapotegyenlete formálisan úgy módosul, hogy az átlagos molekulasúly helyett annak $\beta$-szorosa szerepel.

Ha feltesszük, hogy $\beta$ a csillag belsejében konstans, (1.16) szemléletesebb alakra hozható. Kihasználva, hogy $P = P_g + P_r = \beta P + (1-\beta) P$, T-t $P_g$ fenti képletéből kifejezve és visszahelyettesítve $P_r$ képletébe, a sugárzás és a plazma együttes állapotegyenletének egyszerűsített alakját kaphatjuk:

$$P =  \left [ {{3 (1-\beta) \mathcal{R}^4} \over {a (\mu \beta)^4}} \right ]^ {1 \over 3} \cdot \rho^{4 \over 3}.$$ (1.17)

Ebből látható, hogy a fenti egyszerűsítő feltevés következtében a nyomás csak a sűrűségtől függ, a hőmérséklettől nem. Az ilyen állapotegyenletet nevezzük politrop állapotegyenletnek.