Diszkrét wavelet-transzformáció

Legyen m(t) a csillag fényváltozását leíró függvény. Az f frekvenciához és a $\tau$ időeltolási paraméterhez tartozó wavelet-transzformáció:

$$W(f,\tau)=\sqrt{f} \int_{-\infty}^{+\infty} m(t) \cdot g^{\ast}\left [ f(t-\tau)\right ] dt$$ (3.54)

az ún. Morlet-féle analizáló wavelet egy módosított Gauss-görbe:

$$g^{\ast}\left [ f(t-\tau)\right ] = e^{-icx} e^{-\frac{1}{2}x^2}$$ (3.55)

ahol $x = f (t-\tau)$ és általában $c = 2\pi$ (a c értéke a frekvencia- és időbeli felbontás paramétere).

A gyakorlatban a DFT-hez hasonlóan bevezethető a diszkrét wavelet-transzformáció (DWT), amely szerint az amplitúdó spektrum:

$$W(f,\tau)=\left [ f \cdot C(f,\tau)^2 + f \cdot S(f,\tau)^2\right ]^{\frac{1}{2}}$$ (3.56)

ahol

$$C(f,\tau)=\sum_{j=1}^N m(t_j) \cos \left ( 2\pi f \left (t_j-\tau \right )\right ) \cdot e^{-\frac{1}{2}f^2(t_j-t_0-\tau)^2}$$ (3.57)

$$S(f,\tau)=\sum_{j=1}^N m(t_j) \sin \left ( 2\pi f \left (t_j-\tau \right )\right ) \cdot e^{-\frac{1}{2}f^2(t_j-t_0-\tau)^2}$$ (3.58)

és $t_0$ az adatsor első eleméhez tartozó idő.

A Gauss-ablak félszélessége a próbaperiódussal arányos (P=1/f), nem pedig állandó érték, mint a Fourier-módszernél. Az ablakot $\tau$ értékkel toljuk el az adatsor elejétől a végéig, és minden eltolásra kiszámoljuk a frekvenciaspektrumot.

Fontos megjegyezni, hogy a wavelet nem egyszerűen egy adatsor feldarabolásos (ablakozott) Fourier-módszer! A csúsztatott ablakozás mellett alapvető, hogy az ablak szélessége mindig illeszkedik a keresett periódus hosszához. Ennek következtében a frekvenciaspektrumban a csúcsok félszélessége nem egyforma, mint a Fourier-analízisnél, hanem a frekvenciával arányosan növekszik. Ez az aszimmetria egyetlen csúcs esetében is jelentkezik, a nagyobb frekvenciájú oldala ``laposabb''.