Mértékinvariancia

A háttér-téridő koordináta rendszere ismert (kozmológiai szimmetriákhoz adaptált), a perturbált téridő azonban bármilyen lehet, nem tüntet ki hasonlóan koordináta-rendszert. Végtelen sok egymáshoz közeli'' koordináta-rendszer létezik, amelyben a perturbált metrika (6.74) alakú (azaz a perturbáció hiányában az alapmetrikával egyezik).

Belátható, hogy az $x^{a}\rightarrow x^{a\prime }=x^{a}-\varepsilon y^{a}$ infinitezimális koordináta-transzformációkra tetszőleges (k,l) típusú,

$$S=S^{\left( 0\right) }+\varepsilon S^{\left( 1\right) }$$ (6.75)

alakú tenzorban a perturbáció transzformációja:

$$S^{\left( 1\right) \prime }\left( x^{\prime }\right) =S^{\left( 1... ...n \mathcal{L}_{\partial /\partial y^{a}}S^{\left( 0\right) }\left( x\right) .$$ (6.76)

Itt $\mathcal{L}_{\partial /\partial y^{a}}$ a $\partial /\partial y^{a}$ irányú Lie-deriváltat jelöli. Ezt mérték- (gauge) transzformációnak is nevezik. Adott koordináta-rendszer megválasztása pedig mértékrögzítésnek felel meg.

Mivel minden $\partial /\partial y^{a}$ vektor generál egy mértéktranszformációt, így csak azon tenzormezők perturbációi lesznek mértékinvariánsak, amelyekre $\mathcal{L}_{\partial /\partial y^{a}}S^{\left( 0\right) }=0$ teljesül, tetszőleges $\partial /\partial y^{a}$-ra. Tehát csak a háttéren konstans $S^{\left( 0\right) }$ tenzorok perturbációi mértékinvariánsak, ez a Stewart-Walker-lemma [24]. Törekedni érdemes tehát a FLRW háttéren állandó tenzorok használatára. A FLRW téridőt jellemző tenzorok azonban valamennyien a skálafaktor függvényei.

A FLRW-téridő szimmetriái miatt egy általános téridőt jellemző tenzorok egy része eltűnik, ezek perturbációi mértékinvariánsak. A nullára rendezett $% S^{\left( 0\right) }=0$ alakú tenzoregyenletek $S^{\left( 1\right) }$ perturbációi szintén mértékinvariánsak.

A perturbációs egyenleteket mindig ki lehet fejezni mértékinvariáns változókban [25].