Bardeen-formalizmus

A felvázolt mértékinvariáns mennyiségeket Bardeen vezette be elsőként [25]. E mennyiségeket alkalmazó lineáris perturbációszámítást Bardeen-formalizmusnak nevezik. A $\Psi$, $\Phi$ Bardeen-potenciálok és a $% \Delta$, $V$, $\Gamma$, $\Pi$ kozmikus folyadék perturbációk fejlődését az Einstein-egyenletek adják meg. Közönséges differenciálegyenteket nyerünk, ha a térbeli függést harmonikusok szerinti kifejtéssel leválasztjuk az időbeli függéstől. A harmonikusok a $\left( \Delta +k^{2}\right) Q^{\left( S\right) }=0$ Laplace-Beltrami-egyenlet megoldásai ($\Delta$ az állandó görbületű 3-dimenziós tér Laplace-operátora, $k$ a hullámszám).

Az alábbiakban a sík ($K=0$) Friedmann-téridő perturbációjával foglalkozunk. A harmonikusok szerinti kifejtés ekkor a szokásos Fourier-transzformációt jelenti:

$$\Phi = \int \widetilde{\Phi }e^{i\mathbf{k\cdot x}} , \Psi =\int \widetilde{\Psi }e^{i\mathbf{k\cdot x}} ,$$

$$\Delta = \int \widetilde{\Delta }e^{i\mathbf{k\cdot x}} , \Gamma =\int \widetilde{\Gamma }e^{i\mathbf{k\cdot x}} ,$$

$$V = -\int \frac{\widetilde{V}}{k}e^{i\mathbf{k\cdot x}} , \Pi =\int \frac{ \widetilde{\Pi }}{k^{2}}e^{i\mathbf{k\cdot x}} ,$$ (6.79)

ahol az integrálási mérték $d^{3}k/\left( 2\pi \right) ^{3}$, az $i$ a képzetes egység, $\mathbf{k}$ az együttmozgó hullámszám-vektor, a szorzatpont két vektor skalárszorzatát jelöli a 3-dimenziós euklideszi térben és $% k=\left\vert \mathbf{k}\right\vert$ az együttmozgó hullámszám. Mivel az Univerzummal együttmozgó rendszerben a távolságokat $\left\vert a\mathbf{x}% \right\vert$ adja, így a fizikai hullámszám $k/a$. A perturbatív mennyiségek Fourier-transzformáltjait hullámvonal jelöli.

Az egyenletek egyszerűbb alakot öltenek, ha áttérünk az $\eta$ konformis idő szerinti^6.9deriváltra a

$$d\eta =a^{-1}dt$$ (6.80)

reláción keresztül és bevezetjük a

$$\mathcal{H}=\frac{1}{a}\frac{da}{d\eta }$$ (6.81)

konformis Hubble-paramétert (ez megegyezik a korábban használt $\dot{a}$ mennyiséggel). Az $\eta$ konformis idő és a $t$ kozmológiai idő közötti összefüggés a sugárzás, por, illetve kozmológiai állandó által dominált univerzumokban:

$$\eta \propto t^{1/2} ,$$

$$\eta \propto t^{1/3} ,$$

$$\eta \propto 1-\exp \left( -\sqrt{\frac{\Lambda }{3}}t\right) ,$$ (6.82)

A folytonossági és Friedmann-egyenletekből általános $w$ és $K=0$ esetén levezethető, hogy

$$a\propto \eta ^{2/\left( 1+3w\right) } .$$ (6.83)

A mértékinvariáns perturbációs változókra az Einstein-egyenletek a következőket adják [26]:^6.10

$$3\mathcal{H}\left( \frac{d\widetilde{\Phi }}{d\eta }-\mathcal{H}\... ...e{ \Psi }\right) +k^{2}\widetilde{\Phi }=4\pi Ga^{2}\rho \widetilde{\Delta } ,$$ (6.84)

$$k\left( \frac{d\widetilde{\Phi }}{d\eta }-\mathcal{H}\widetilde{\Psi } \right) =-4\pi Ga^{2}\rho \left( 1+w\right) \widetilde{V} ,$$ (6.85)

$$\frac{d^{2}\widetilde{\Phi }}{d\eta ^{2}}+\mathcal{H}\frac{d}{d\e... ... \frac{2}{a}\frac{ d^{2}a}{d\eta ^{2}}-\mathcal{H}^{2}\right) \widetilde{\Psi }$$

$$\;\;+\frac{k^{2}}{3}\left( \widetilde{\Psi }+\widetilde{\Phi }\ri... ...G\rho a^{2}\left( c_{S}^{2}\widetilde{\Delta }+w\widetilde{\Gamma } \right) ,$$ (6.86)

$$k^{2}\left( \widetilde{\Phi }+\widetilde{\Psi }\right) =-8\pi Ga^{2}p\widetilde{\Pi } ,$$ (6.87)

az energia-impulzus tenzor divergenciamentességének idő- és térkomponensei pedig:

$$\frac{d\widetilde{\Delta }}{d\eta }-3\mathcal{H}w\left( 1-\frac{c... ... 1+w\right) \left( 3\frac{d\widetilde{\Phi }}{d\eta }+k\widetilde{V}\right) ,$$ (6.88)

$$\frac{d\widetilde{V}}{d\eta }+\mathcal{H}\left( 1-3c_{s}^{2}\righ... ...{1+w}\left( \widetilde{\Gamma }-\frac{2}{3}\widetilde{\Pi } \right) \right] .$$ (6.89)

Utóbbiak nem függetlenek az Einstein-egyenletektől, azonban sok esetben a (6.85) és (6.86) Einstein-egyenletek helyett a (6.88) és (6.89) divergenciaegyenletek alkalmazása a célszerűbb. A fenti egyenletek adják meg a perturbációk dinamikáját, így szerepük a struktúra kialakulásában lényeges.