A Bardeen-potenciál

Az anizotrop nyomásperturbációk elhanyagolása után a (6.87) Einstein-egyenlet a Bardeen-potenciálok $\widetilde{\Phi }=-\widetilde{\Psi }$ kapcsolatát adja. A $p=p\left( \rho \right)$ alakú állapotegyenlet arra vezet, hogy nincs az anyagnak belső entrópiaperturbációja, így $\Gamma =0$. A perturbációk fejlődési egyenleteiből a $\widetilde{\Psi }$ Bardeen-potenciálra az alábbi homogén, csillapított hullámegyenlet származtatható [26]:

$$\frac{d^{2}\widetilde{\Psi }}{d\eta ^{2}}+3\left( 1+c_{s}^{2}\rig... ...c_{s}^{2}-w\right) \mathcal{H}^{2}+c_{s}^{2}k^{2}\right] \widetilde{\Psi } =0 .$$ (6.90)

Továbbá, ha $w$ konstans, érvényes (6.83), így

$$\mathcal{H}=\frac{2}{\left( 1+3w\right) \eta } ,$$ (6.91)

és

$$\frac{d^{2}\widetilde{\Psi }}{d\eta ^{2}}+\frac{1+w}{1+3w}\frac{6}{\eta } \frac{d\widetilde{\Psi }}{d\eta }+wk^{2}\widetilde{\Psi }=0 .$$ (6.92)

Az Einstein-egyenletek megoldását két határesetben tárgyaljuk. A határesetek az úgynevezett szuper- és szub-Hubble skálákhoz kötődnek. Szuper-Hubble-skálákon a

$$k\eta \ll 1\Leftrightarrow k/\mathcal{H}\gg 1\Leftrightarrow \lambda \gg \mathcal{H}^{-1}$$ (6.93)

relációk teljesülését értjük. Vagyis olyan perturbációkat tekintünk, amelyek hullámhossza lényegesen meghaladja a konformis Hubble-paraméter reciprokát. Szub-Hubble-skála alatt a fenti relációk ellentettjeit értjük:

$$k\eta \gg 1\Leftrightarrow k/\mathcal{H}\ll 1\Leftrightarrow \lambda \ll \mathcal{H}^{-1} .$$ (6.94)

Ekkor olyan perturbációkat tekintünk, amelyek hullámhossza lényegesen kisebb a konformis Hubble-paraméter reciprokánál.

A (6.92) egyenletnek van egzakt partikuláris megoldása, amely $% w>0$ esetben [26]:

$$a\widetilde{\Psi }=\widetilde{A}j_{q}\left( \sqrt{w}k\eta \right) + \widetilde{B}y_{q}\left( \sqrt{w}k\eta \right) ,$$ (6.95)

ahol $j_{q}$ és $y_{q}$ jelölik a $q$-adik ( $q=2/\left( 1+3w\right)$) rendű szférikus Bessel-függvényeket. Amikor $\sqrt{w}k\eta \ll 1$ (szuper-Hubble skála), $j_{q}\left( x\right) \propto x^{q}\propto a$ és $y_{q}\left( x\right) \propto x^{-q-1}\propto \left( a\eta \right) ^{-1}$. Ezért és (6.91) miatt $\widetilde{\Psi }$ mennyiség $\widetilde{A}$-módusa konstans, míg a $\widetilde{B}$-módus csökkenő $\propto \left( a^{2}\eta \right) ^{-1}$. Eredetileg összemérhető amplitúdójú módusok esetén is a $% \widetilde{B}$-módus csökkenése gyors, így mindig elhanyagolható. Ha $\sqrt{w}k\eta \gg 1$ (szub-Hubble-skála) a megoldás $\sqrt{w}k$ frekvenciával oszcillál, amplitúdója $1/\left( a\eta \right)$ szerint csökken:

$$\widetilde{\Psi }=\frac{\widetilde{A}}{a\sqrt{w}k\eta }\sin \left( \sqrt{w} k\eta -\frac{q}{2}\pi \right) .$$ (6.96)

A $w=0$ esetben (6.92) megoldása [26]:

$$\widetilde{\Psi }=\widetilde{A}+\frac{\widetilde{B}}{\eta ^{5}} .$$ (6.97)

Mivel a $\widetilde{B}$-módus csökkenő, a gravitációs potenciál perturbációja időfüggetlen a pordominált korszakban.^6.11 Tehát a pordominált, lecsatolódás utáni Univerzumban a perturbációknak mindkét skálán létezik konstans járuléka.

A széles körben elfogadott inflációs modellek szerint a sugárzásdominált időszakra a kezdeti

$$P_{\Psi _{i}}\left( k\right) =\left\langle \left\vert \widetilde{\Psi } _{i}\right\vert ^{2}\right\rangle$$ (6.98)

spektrum a következő egyenletet teljesíti:

$$k^{3}P_{\Psi _{i}}\left( k\right) =A_{S}\left( \frac{k}{H_{0}}\right) ^{n_{s}-1} .$$ (6.99)

6.9. Ábra: A $\Psi$ Bardeen-potenciál $P_{\Psi }\equiv \left\vert \widetilde{% \Psi }\right\vert ^{2}$ spektrumából képezett $k^{3}P_{\Psi }$ a hullámszám függvényében az Univerzum késői, pordominált korszakában [26]. (Az ábrán $\widetilde{\Psi }$-t $\Psi$ jelöli.)

Az $n_{s}$ spektrális index $n_{s}=1$ értékére a $P_{\Psi }\left( k\right)$ spektrumot a 6.9 ábra mutatja. Ez egy olyan sík Friedmann-univerzum késői pordominált korszakára vonatkozik, amelynek a sugárzásdominált kezdeti korszakában a spektrum (6.99) volt.