A hőmérsékleti fluktuáció Fourier-transzformáltjának multipólus-sorfejtése

A $\Theta$ hőmérsékleti fluktuáció $\widetilde{\Theta }$ Fourier-transzformá ltjára vonatkozó Boltzmann-egyenlet a $\mathbf{k}$ hullámszám-vektor $\widehat{\mathbf{k}}$ irányától csak a $\overline{\mu }\equiv \widehat{ \mathbf{p}}\cdot \widehat{\mathbf{k}}$ skalárszorzaton keresztül függ [37], így $\widetilde{\Theta }$ kifejthető a $P_{l}\left( \overline{\mu }\right)$ Legendre-polinomok szerint:

$$\widetilde{\Theta }\left( \mathbf{k},\widehat{\mathbf{p}},t\right... ...\Theta}_{l} \left( \mathbf{k},t \right) P_{l} \left( \overline{\mu }\right) ,$$ (6.119)

ahol a kifejtési együtthatók (multipólusok)

$$\widetilde{\Theta }_{l}\left( \mathbf{k},t\right) =\frac{1}{\left... ...} \right) \widetilde{\Theta }\left( \mathbf{k},\widehat{\mathbf{p}},t\right) .$$ (6.120)

A fotoneloszlás Boltzmann-egyenletéből (elhanyagolva a fotonpolarizációseffektusait^6.14) a következő fejlődési egyenletek származnak a $% \widetilde{\Theta }_{l}$ multipólusokra [12]:

$$\frac{\partial \widetilde{\Theta }_{0}}{\partial \eta }+k\widetilde{\Theta } _{1}=-\frac{\partial \widetilde{\Phi }}{\partial \eta } ,$$ (6.121)

$$\frac{\partial \widetilde{\Theta }_{1}}{\partial \eta }-\frac{k}{... ... \widetilde{\Theta }_{1}-\frac{ \widetilde{V}^{\left( b\right) }}{3}\right] ,$$ (6.122)

$$\frac{\partial \widetilde{\Theta }_{2}}{\partial \eta }-\frac{2k}... ...tilde{\Theta }_{3}=\frac{9}{10} \frac{d\tau }{d\eta }\widetilde{\Theta }_{2} ,$$ (6.123)

valamint $l\geq 3$-ra

$$\frac{\partial \widetilde{\Theta }_{l}}{\partial \eta }-\frac{lk}... ...2l+1}\widetilde{\Theta } _{l+1}=\frac{d\tau }{d\eta }\widetilde{\Theta }_{l} .$$ (6.124)

Itt $\widetilde{V}^{\left( b\right) }$ a barionkomponens sebességperturbációja. A $\tau$ optikai mélységet a

$$\frac{d\tau }{d\eta }=-n_{e}\sigma _{T}a$$ (6.125)

egyenlet adja meg, ebben $\sigma _{T}$ a Thomson-szórás hatáskeresztmetszete.

A fenti egyenletrendszer önmagában még nem határozza meg a multipólusok fejlődését, szükséges hozzávenni a $\widetilde{\Phi }$ és $\widetilde{\Psi }$ Bardeen-potenciálok fejlődésegyenleteit (ezeket a (6.86)-(6.87) Einstein-egyenletek adják). Utóbbiak viszont összecsatolódnak a neutrínókra, a barionikus- és a sötét anyagra vonatkozó fejlődésegyenletekkel is.

A neutrínó-eloszlásfüggvényt jellemző $\mathcal{N}$ perturbációra ugyanazok érvényesek, mint $\Theta$-ra, azzal a kivétellel, hogy nincs szórási tag. Az $\widetilde{\mathcal{N}}_{l}$ momentumok fejlődésegyenleteit (6.121)-(6.124) egyenletek adják $\tau \equiv 0$-val és végrehajtva a $% \widetilde{\Theta }_{l}\rightarrow \widetilde{\mathcal{N}}_{l}$ cseréket.

A fotonokon és neutrínókon kívül a többi anyag (barionok, hideg sötét anyag) komponens nemrelativisztikus. Ez ahhoz vezet, hogy a barionok és a hideg sötét anyag perturbált eloszlásfüggvényei első két momentumához (energiasűrűség- és sebességperturbációk), képest a magasabbak elhanyagolhatók.

A teljes egyenletrendszer megtalálható [12] forrásban, numerikus megoldása megadja a CMB-multipólusok időfejlődését. A kezdeti feltételek adiabatikusak, teljesítik többek között a

$$\widetilde{\Theta }_{0}=\widetilde{\mathcal{N}}_{0}=\frac{\wideti... ...t( dm\right) }}{3}=- \frac{\widetilde{\Psi }}{2}=\frac{\widetilde{\Phi }}{2} ,$$ (6.126)

$$\widetilde{V}_{dm}=\widetilde{V}_{b}=3\widetilde{\Theta }_{1}=3\widetilde{ \mathcal{N}}_{1}=-\frac{k}{2\mathcal{H}}\widetilde{\Phi }$$ (6.127)

relációkat.