Hőmérsékleti teljesítményspektrum

A $\Theta$ hőmérsékleti fluktuációt véletlen valószínűségi mezőként kezeljük. Valószínűségi mezők esetén cél az eloszlásfüggvényük minél pontosabb meghatározása. Az eloszlásfüggvény meghatározható tetszőleges számú pont korrelációs függvényei ismeretében. Gauss-valószínűségi mező esetén a tetszőleges számú pontkorrelációs függvények visszavezethetők 2-pont korrelációsakra (Wick-tétel), ezért elegendő ez utóbbiak meghatározása.

Feltesszük, hogy a $\Theta$ hőmérsékleti fluktuáció Gauss-valószínűségi változó, ami a FLRW háttér szimmetriáival összhangban statisztikailag homogén és izotrop. A statisztikai homogenitás és izotrópia azt jelenti, hogy a 2-pont-korrelációs függvény invariáns a térbeli eltolásokkal és pont körüli forgatásokkal szemben.

A hőmérsékleti fluktuációt adott helyen és időben ( $x^{\alpha }$ és $t_{0}$ rögzített) mint irányfüggő ( $\widehat{p}^{\alpha }$-tól függő) mennyiséget figyeljük meg. Az egységgömbön a gömbharmonikusok ortonormális bázist alkotnak, így a megfigyelt $\Theta \left( \widehat{\mathbf{p}}\right) =\Theta \left( x^{\alpha },\widehat{p}^{\alpha },t_{0}\right)$ hőmérsékleti anizotrópia mezőt alkalmas kifejteni ezen bázis szerint:

$$\Theta \left( \widehat{\mathbf{p}}\right) =\sum_{l=0}^{\infty }\sum_{m=-l}^{l}a_{lm}Y_{lm}\left( \widehat{\mathbf{p}}\right) ,$$ (6.128)

ahol a komplex $a_{lm}$ kifejtési együtthatók:

$$a_{lm}=\int d\Omega _{\widehat{p}} Y_{lm}^{\ast }\left( \widehat{\mathbf{p}} \right) \Theta \left( \widehat{\mathbf{p}}\right) .$$ (6.129)

A komplex konjugálást csillag jelöli, az integrálás pedig a hármasimpulzus szögei szerint történik. A 2-pont-korrelációs függvény a statisztikai izotrópia miatt csak az égbolt két pontja közötti szeparációs szögtől függ. Ezért a 2-pont-korreláció kifejthető Legendre-polinomok szerint:

$$\left\langle \Theta \left( \widehat{\mathbf{p}}_{1}\right) \Theta... ...{4\pi } \sum_{l=2}^{\infty }\left( 2l+1\right) C_{l}P_{l}\left( \mu \right) ,$$ (6.130)

ahol $\mu \equiv \widehat{\mathbf{p}}_{1}\cdot \widehat{\mathbf{p}}_{2}=\cos \theta$ és $C_{l}$ a hőmérsékleti szög-teljesítményspektrum^6.15. A $\left\langle {}\right\rangle$ várható értéket jelöl, amely rögzített szeparációs szögnél átlagképzéssel helyettesíthető. Az összegzés $% l=2$-től indul, mert az $l=0$ monopól tag a statisztikai izotrópia miatt konstans, az $l=1$ dipól tag pedig a megfigyelő lokális mozgása miatt lép fel, így ezeket ki lehet vonni a spektrumból. A $C_{l}$ multipólmomentumok adott $l$-re domináns járulékát a $\theta \approx \pi /l$ szögskálájú [42], $\lambda \approx \theta D_{A}\left( z_{\text{SLS}}\right)$ ( $D_{A}\left( z_{\text{SLS}}\right)$ az utolsó szórási felület szögátmérő távolsága) hullámhosszú fluktuációk adják [26].

A 2-pont korreláció Legendre-együtthatói megadhatók az $a_{lm}$ gömbfüggvény-együtthatók $\left\langle a_{l_{1}m_{1}}a_{l_{2}m_{2}}^{\ast }\right\rangle$ korrelációjával is. Felhasználva a gömbfüggvények addíciós tételét, a statisztikai izotrópia miatt:

$$\left\langle a_{l_{1}m_{1}}a_{l_{2}m_{2}}^{\ast }\right\rangle =C_{l_{1}}\delta _{l_{1}l_{2}}\delta _{m_{1}m_{2}} .$$ (6.131)

A mátrixnak csak a diagonális elemei nem nullák. Megjegyezzük, hogy különböző $m$ indexek ugyanazt a $C_{l}$-t határozzák meg, ez tulajdonképpen a statisztikai izotrópia tesztje.

A $\widetilde{\Theta }_{l}$ valószínűségi változók amplitúdói és fázisai függenek a kezdeti perturbációktól. A hőmérsékleti fluktuációra vonatkozó (6.121)-(6.124) Boltzmann-egyenlet multipólus-komponensek azonban nem függnek expliciten $\widehat{\mathbf{k}}$-tól, ezért $\widetilde{\Theta }% _{l}$ csupán időtől független szorzóban tartalmazhat $\widehat{\mathbf{k}}$-függést:

$$\widetilde{\Theta }_{l}\left( \mathbf{k},t\right) =\widetilde{\Ps... ...eft( k,\widehat{\mathbf{k}}\right) \widetilde{\Theta }_{l}\left( k,t\right) .$$ (6.132)

Itt $\widetilde{\Psi }_{i}$ a gravitációs potenciál kezdeti perturbációját jelenti, amely meghatározza az összes változóra vonatkozó kezdeti feltételt.

A gravitációs potenciál perturbációja szintén Gauss-eloszlást követő homogén és izotrop valószínűségi mező. A 2-pont-korrelációs függvényének Fourier-transzformáltja adja a $P_{\Psi _{i}}$ kezdeti teljesítményspektrumot. A homogenitás és izotrópia miatt a gravitációs potenciál-perturbáció Fourier-transzformáltja különböző hullámszámú fluktuációi közti korrelációs függvény:

$$\left\langle \widetilde{\Psi }_{i}\left( \mathbf{k}\right) \widet... ...a \left( \mathbf{k}-\mathbf{k}^{\prime }\right) P_{\Psi _{i}}\left( k\right) .$$ (6.133)

Felhasználva $\Theta \left( \widehat{\mathbf{p}}\right)$ Fourier-transzformáltjának Legendre-polinomok szerinti kifejtését, a gömbfüggvények addíciós tételét és (6.131) összefüggést, a szög-teljesítményspektrum kifejezhető a $\widetilde{\Theta }_{l}\left( k,t_{0}\right)$ anizotrópia-momentumokkal és a $P_{\Psi _{i}}\left( k\right)$ kezdeti teljesítményspektrummal [37]:^6.16

$$C_{l}=\frac{2}{\pi }\int dk k^{2}P_{\Psi _{i}}\left( k\right) \left\vert \widetilde{\Theta }_{l}\left( k,\eta _{0}\right) \right\vert ^{2} .$$ (6.134)

Az inflációs modellek szerint $P_{\Psi _{i}}\left( k\right)$ hatványfüggvény [lásd (6.99)].

6.21. Ábra: A CMB-fluktuációk szögspektruma, azaz a foltok relatív fényessége a foltok (multipólus-momentum $l$ rendje által, illetve szögben kifejezett) méretének függvényében a Planck űrszonda 2013-ban közzétett eredményei alapján [http://sci.esa.int/science-e/www/object/index.cfm?fobjectid=51555 ].

A teljesítményspektrum meghatározásában fontos szerepe volt a WMAP űrszondának, valamint értékes kiegészítéseket adtak a South Pole Telescope mérései is [43]. A jelenleg rendelkezésre álló legpontosabb hőmérsékleti teljesítményspektrumot a 6.21 ábra mutatja be ([44] 37. ábrája). Látható, hogy a modell és a megfigyelések igen pontosan illeszkednek $l>50$ tartományban, azonban nagy szögskálákon (kis $l$-ekre) egyrészt a hibahatárok nagyok, másrészt túl sok pont került a modell által jósolt görbe alá. Az eltérés okait jelenleg vizsgálják. A Planck szonda adataiból készített teljesítményspektrum 7 csúcsot tartalmaz, szemben a WMAP által azonosított 4 csúccsal, így a kozmológiai paraméterek pontosabban határozhatók meg.